2024-2025学年江苏省盐城市七校联考高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省盐城市七校联考高二上学期11月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是( )
A. 该数列是公差为的等差数列
B. 该数列的图象只能在第一象限
C. 该数列是个有穷数列
D. 该数列的图象是直线上满足的点集
2.抛物线的准线方程是，则的值为( )
A. B. C. D.
3.直线，，若，则的值为( )
A. 或 B. C. D.
4.已知数列：，，，，，，前六项不适合下列哪个通项公式( )
A. B.
C. D.
5.直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
7.若双曲线的实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，则这个双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知点，以为圆心，为坐标原点为半径作圆直线与圆交于，两点，且与，轴的正半轴分别交于，两点，若为正三角形，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.曲线，下列结论正确的有( )
A. 若曲线表示椭圆，则且不等于
B. 若曲线表示双曲线，则焦距是定值
C. 若，则短轴长为
D. 若，则渐近线为
10.若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值可能是( )
A. B. C. D.
11.如图所示，年月日“嫦娥六号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线为常实数的倾斜角的大小是 ．
13.若数列满足，若，则的值为
14.如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道共有四个车道，每个车道宽为，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部设车辆顶部为平顶与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 精确到
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知动点满足方程．
试将上面的方程改写为椭圆的标准方程并求其离心率；
类比圆的面积公式可以得到椭圆的面积公式为，其中，分别是椭圆的长半轴和短半轴的长，求该椭圆的面积．
16.本小题分
已知直线及圆，直线被圆截得的弦长为．
求的值；
求过点并与圆相切的切线方程．
17.本小题分
已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点．
求拋物线的标准方程；
若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点、两点异于原点，以为直径的圆经过原点，求的值．
18.本小题分
已知点在椭圆上，右准线方程为，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点．
求以为直径圆的方程；
以椭圆上、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，再过点作的垂线，试问直线是否经过某定点，若存在，求此定点；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知为双曲线的一条渐近线方程，过右焦点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且．
求双曲线的方程；
设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，且满足求直线的斜率；
过圆上任意一点作切线，分别交双曲线于，两个不同点，中点为，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 或
13.
14.
15.解：
由，
可以看作动点到定点的距离和为常数，
所以由椭圆的定义知动点轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，
所以，
所以椭圆的方程为：，其离心率．
由知，
由所给椭圆面积公式．

16.解：
依题意可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
由勾股定理可知，代入化简得，
解得或．
圆，由知在圆外，
当切线方程的斜率存在时，设方程为，
由圆心到切线的距离，即，可解得，
切线方程为，
当过斜率不存在，易知直线与圆相切，
综合可知切线方程为或．

17.解：
当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为，
过点，即，解得，
即此时抛物线方程为；
当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为，
过点，即，解得，
即此时抛物线方程为；
由得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为，
设，，
联立直线与抛物线，得，
则，解得，
且，，，
又以为直径的圆经过原点，
即，，
解得．

18.解：
由已知椭圆的右准线为，即，则，
则椭圆方程为，
又椭圆过点，
则，
解得，
则，，
椭圆，，
令，解得，即，
又以为直径圆圆心为，
所以圆的方程为；
易知直线斜率存在且不为，
则设直线，，，
联立直线与椭圆，得，
则，
即，
且，
又、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，
即，中点在直线上，
即，化简可得，
直线方程为，
令，则，即，
所以直线，即，
即直线恒过定点．

19.解：
由渐近线为，则，即，
则双曲线方程为，，
令，则，
又在轴上方，则，，，
所以双曲线方程为；
由得，
设直线，，
联立直线与双曲线，则，
，即，
且，，
又，，
且，
则，
化简可得，
即或，
当，直线，
直线过点，不成立，
综上所述，；
【小问详解】
当直线斜率存在时，设直线，，，
易知直线与圆相切，
则，即，
联立直线与双曲线，得，
，即，
且，，
则，，
即
，
即；
当直线斜率不存在时，直线或，
当方程为时，，，
此时，，
同理当方程为时，；
综上所述恒成立，
即为直角三角形，且为中点，
则．

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