2024-2025学年江苏省连云港市东海县高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省连云港市东海县高二上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，，三点共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知两条平行直线与间的距离为，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
3.若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
4.圆：与圆：的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
5.一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
6.若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，点，点满足到直线的距离为，且，则符合要求的点的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设直线过两点和，则( )
A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为
C. 直线在轴上的截距为 D. 直线在轴上的截距为
10.已知双曲线的对称轴为坐标轴，渐近线方程为，虚轴长为，则( )
A. 当双曲线的焦点在轴上时，其实轴长为
B. 当双曲线的焦点在轴上时，其共轭双曲线为
C. 当双曲线的焦点在轴上时，其离心率为
D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为
11.已知曲线，则( )
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线的周长为
C. 曲线所围成图形的面积为
D. 曲线与直线有个公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线过原点，且到直线的距离等于，则直线的斜率为 ．
13.已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于，则 ．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左支交于、两点，若，且，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线，点，求：
经过点且与直线垂直的直线方程；
点关于直线的对称点．
16.本小题分
已知圆经过点，，．
求圆的方程；
求过点且与圆相切的直线方程．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为．
求的方程；
过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程．
18.本小题分
设抛物线上的点与焦点的距离为，点到轴的距离为．
求抛物线的方程；
经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线为坐标原点交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值．
19.本小题分
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过两点．
求的方程；
过点的两直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，且，的中点为，证明：直线过定点．
参考答案
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15.解：
由直线，可得其斜率为，
所以可得与之垂直的直线的斜率为，
所以过点与垂直的直线的方程为，即
设的坐标为，则直线是线段的中垂线，
所以解得
所以的坐标为

16.解：
设所求圆的方程为，
因为点，，在所求的圆上，所以
解得
故所求圆的方程是．
当直线垂直于轴时，直线：与圆相切，满足条件；
当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为
即，
所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
从而，解得，
因此，所求切线方程是或

17.解：
因为，由双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支，
设实轴长为，焦距为，虚轴长为，
，，
所以的轨迹方程为；
设直线的方程为，，，
由化简得，
则，，
，，
，
，，或．
，，
，，
所以的方程为．

18.解：
设点，由已知，所以，
又点到轴的距离为，即，即，
由点在抛物线上，
所以，解得或舍去，
故抛物线的方程为；
设点的坐标为，

则直线的方程为，
抛物线的准线方程为，
联立，可解得点的纵坐标为，
由知焦点，
当，即时，直线的方程为，
联立消去，可得，
即，可得点的纵坐标为，
与点的纵坐标相等，于是直线的斜率为，
当时，点的纵坐标为，
直线的方程为，与准线的交点的纵坐标为，
此时直线的斜率为，
当时，同理可得直线的斜率为，
综上，直线的斜率为定值．

19.解：
设椭圆的方程为，过，，
则，解得，所以椭圆的方程为：．
法：设线
设直线的方程为，，，
联立，得，
由，
由韦达定理得，，
因为，则直线，
令，解得，即，同理可得，
则，即，
整理得，
，
即，所以，
解得或，
当时，，过定点，舍，
当时，，过定点，
所以直线过定点
法：设点
设，，
因为，则直线，，
联立，得，
联立，得，
则
，
所以，
，
即，
所以直线过定点．

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