2024-2025学年河南省豫北名校联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省豫北名校联考高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过，两点的直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知两平行直线：与：之间的距离为，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则( )
A. B. C. D.
5.直线：被圆：截得的最短弦长为( )
A. B. C. D.
6.九章算术中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
7.已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.圆：与圆：没有公共点，则的值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. 若直线：经过第一象限、第二象限、第四象限，则，
C. 已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是
D. 已知，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是
11.在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点是底面内的一点包括边界，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得的周长为
B. 存在点，使得
C.
D. 若点满足，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的焦点和准线的距离等于______．
13.已知圆：，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，若直线上仅有一点，使得，则的值为______．
14.如图，在直角坐标系中，点是椭圆：上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆过两点，，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程．
16.本小题分
已知抛物线：的焦点为，点是上的一点，且．
求和的值；
过点的直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为，，其中为坐标原点，求证：为定值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点．
求证：；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线：过点．
求双曲线的标准方程；
过的右焦点的直线与交于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为．
求椭圆的标准方程；
若直线与交于另外一点，直线与交于另外一点．
若，求直线的方程；
记，的面积分别为，，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：因为，，
所以线段的中点，且，
所以线段的中垂线方程为，
由得，所以，半径，
得圆的标准方程为；
由知，点，
当直线过原点时，直线的方程为，
当直线不过原点时，设直线的方程为，
则，解得，方程为，
所以直线的方程为或．
16.解：根据题意可得，，抛物线方程为，
又因为在抛物线上，所以，因此；
证明：根据第一问知焦点为，显然直线与不重合，
令直线的方程为，设，，
根据，得，所以，
又因为，，
因此，
因此．
17.解：证明：如图，取中点，连接，，，
因为是中点，所以，
是菱形，则，所以，
又是等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
，则和都是等边三角形，
连接，则，，
以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，
因此有，，，，，
是中点，则，
，，，，
设平面的一个法向量是，
则，则，
取，得，
易知平面的一个法向量是，
则，则，
取，则，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：由题可得：，
解得：，
所以双曲线；
由题，，所以双曲线的右焦点为，
当直线的斜率不存在时，：，
此时，
所以，
又，
所以以为直径的圆不经过坐标原点，
即直线的敘率存在，
设：，，，
联立方程组，化简得，
由题有：，即，
所以，
因为以为直径的圆经过坐标原点，
所以，即，
又，
所以
，
解得：，
所以，
即．
19.解：由题意知
解得，，，
所以的标准方程为．
由知，设，，
所以，，
又，
所以，
解得，，
所以，
又，解得，
又点是上位于第一象限内的一点，所以，
所以，
所以直线的方程为，
即；
设，，，
所以直线的方程为，
由，
得，
所以，
解得，，
所以，
所以
，
，
当且仅当，时，等号成立，
若轴时，令，解得负舍，
则，此时，，
此时，，
所以的最大值为．
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