2024-2025学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期11月期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期11月期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过、两点，则直线的倾斜角的大小为( )
A. 不存在 B. C. D.
2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知两平行直线，的距离为，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
4.已知点，，，若，，三点共线，则，的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.在棱长为的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为( )
A. 不确定 B. C. D.
6.在平行六面体中，为与的交点，是的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
7.台风中心从地以每小时的 速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
8.已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.已知直线：，则( )
A. 直线的一个方向向量为
B. 直线过定点
C. 若直线不经过第二象限，则
D. 若，则圆上有四个点到直线的距离等于
11.已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则( )
A. 的最小值为
B. 直线必过定点
C. 满足的点有两个
D. 过点作圆的切线，切线方程为或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点在平面内，为空间内任意一点，若，则 ．
13.直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ．
14.如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内含边界移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：与直线：的交点为．
求点关于直线的对称点；
求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点．

证明：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知动点与两个定点，的距离的比是．
求动点的轨迹的方程
直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程．
18.本小题分
如图所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图所示的位置，使得连接得到四棱锥，记的中点为，连接，动点在线段上．

证明：平面；
若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值；
求动点到线段的距离的取值范围．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
证明：向量是平面的法向量；
若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量写出一个即可；
若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 或
13.
14.
15.解：
联立方程，解得
所以两直线，的交点为．
设，则的中点为．
联立方程，解得
所以．
因为，
所以点到经过点的直线距离的最大值为．
由题意，与垂直，则，故的斜率为．
所以直线的方程为，即
所以当距离最大时，直线的方程为．

16.解：
、分别为，的中点，，
为正方形，
，则，
平面，平面，
平面．
由题知平面，，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，，
．
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：设点，则，
化简得，即，
所以动点的轨迹的方程为
由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
可计算得圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，圆心到直线的距离是，不符合条件，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以，化简得，解得或，
所以直线的方程是或．
18.解：

因为折叠前为中点，，所以，折叠后，，
所以，所以，在折叠前分别为中点，
所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后，
，；以为坐标原点，、、分别为、、轴建立
空间直角坐标系，则，，，，，
为中点，所以，，设平面的法向量为
，又，，所以
，令，则，，所以，所以，
所以，所以平面．
设，由知，，因为动点在线段上，
且，所以，所以，
所以，，，所以，，
，设平面的法向量为，
，令，则，，所以，
设平面的法向量为，所以
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
设，，，动点在线段上，
所以，，即，即
所以，，，
设点到线段的距离为，，
，，
，，令，，
则，，根据二次函数的性质可知，
所以，由此可知动点到线段的 距离的取值范围为．

19.解：
取平面内的任意两点，，
则两式相减得，，
即，所以，从而，
故是平面的法向量．
记平面，的法向量为，，
设直线的方向向量，
因为直线为平面和平面的交线，所以，，
即，取，则，
所以直线的单位方向向量为．
设，
由平面经过点，，，
所以，解得，即，
所以记平面、、的法向量为，，，
与同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，解得．

第1页，共1页