2024-2025学年四川省达州市高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年四川省达州市高二上学期11月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列表达式化简结果与相等的是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在空间中，设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面的法向量为若，直线平面，则直线的方向向量的坐标可以是( )
A. B. C. D.
5.已知某圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知空间单位向量，的夹角为，向量，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知甲、乙两组数据的统计结果如下表若将这两组数据混合后得到丙组数据，则丙组数据的方差为( )
样本容量 平均数 方差
甲组
乙组
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小伟月份日每天运动时长的折线图如下图所示，则( )
A. 小伟日每天运动时长的极差为分钟
B. 小伟日每天运动时长的中位数为分钟
C. 小伟日每天运动时长的众数为分钟
D. 小伟日每天运动时长的第百分位数为分钟
10.在棱长的正方体中，，分别为，的中点，则( )
A. 平面
B. 直线与是异面直线
C. 平面截正方体所得截面是五边形
D. 平面截正方体所得截面的面积为
11.若平面，平面，平面，则称点在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，，记平面为，平面为，，．( )
A. 若，则
B. 存在点，使得平面
C. 线段长度的最小值是
D. 存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点关于平面对称的点的坐标为 ，关于轴对称的点的坐标为 ．
13.四川的旅游资源丰富，不仅有众多著名的自然景观，还包括许多人文景点其中，九寨沟以奇幻的山水景观著称；峨眉山以秀丽闻名；青城山以幽静清雅著称；剑门关则以雄险著称此外，四川还有许多必去的旅游景点，如都江堰、乐山大佛、稻城亚丁、色达佛学院、黄龙景区和四姑娘山等这些景点既展示了四川的自然美景，还体现了其深厚的文化底蕴和历史价值甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点进行游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙选择相同的景点游玩的概率为 ．
14.已知在三棱锥中，，，，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，底面为正方形，，，设，，．
用，，表示
求的长度．
16.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点．
证明：平面．
求点到平面的距离．
17.本小题分
在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点，为上靠近点的三等分点．
证明：平面．
求二面角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面，为的中点．
证明：．
试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在几何体中，已知四边形是边长为的正方形，平面，，．

求异面直线与所成角的余弦值
证明：平面平面．
若是几何体内的一个动点，且，点满足，，求的最小值．
参考答案
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．
13.
14.
15.解：；
根据题意可得，，
，
则
，
，即的长为．
16.解：
如图，连接，由于，分别是，的中点．
则，则四边形为平行四边形，
，平面，平面，
则平面．
如图，可建空间直角坐标系，则
，
设平面法向量为，则
，即，解得，故．
根据点面距离公式，则点到平面的距离．

17.解：
连接，，
因为，所以．
因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，进而因为，所以．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，．
因为，所以，则，，
又，平面，
所以平面．
由得，，，．
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为．
易得平面的一个法向量为．
设二面角的大小为，则，
由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为．

18.解：
因为平面平面，且相交于，又且平面，
故平面，又平面，故．
在上取使得，连接，因为，可得四边形为矩形，且，又，故为等腰直角三角形，故．
因为为的中点，故，又，，
则，故，故．
又，，，平面，故平面．
又平面，故，即得证．
由可得平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系．
则，，，设，
则，，．
设平面的法向量，则，即
令有，，故．
故直线与平面所成角的正弦值为，
即，即，
故，则，化简可得．
即，解得或舍．
故．

19.解：
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．

，，，，则，，
，
故异面直线与所成角的余弦值为．

取的中点，连接，，则，
所以，，，，
所以，，，则，
所以．
，，则，又为中点，
所以，，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
因为，
所以在线段上
因为，
所以，故在平面上
；
设为的中点，
所以，
因为，所以，
故，所以的最小值为．

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