2023-2024学年福建省福州市山海联盟校教学协作体高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省福州市山海联盟校教学协作体高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.若，则集合的非空真子集的个数是( )
A. B. C. D.
4.某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了，休息了一段时间，又沿原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是 ．
A. B. C. D.
5.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )
A. B. C. D.
6.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
7.已知，，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，集合与集合相等，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列命题中，正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11.在下列四个命题中，正确的是( )
A. 函数在定义域内单调递减
B. 当时，的最小值是
C. “”是“”的充要条件
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
12.已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“”的否定是 ．
14.若是幂函数，则 ．
15.若不等式的解集为，则的值为 ．
16.偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
若，求集合；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知是实数．
求证：，并指出等号成立的条件；
若，求的最小值．
19.本小题分
已知，求函数的解析式；
已知函数是一次函数，若，，求函数的解析式．
20.本小题分
已知函数，．
若，求实数的取值范围；
求的最小值．
21.本小题分
全国每个馒头中就有个来自商丘，“豫东粮仓”商丘市立足打造全国重要的粮食生产核心区，推进农业供给侧结构性改革，不断提高农业质量效益和竞争力．商丘市某食品厂引进一条先进生产线生产某种食品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨．
求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
22.本小题分
定义在上的 函数满足：对于，，成立；当时，恒成立．
求的值；
判断并证明的单调性；
当时，解关于的不等式．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.或
15.
16.
17.
当时，，
；
由已知，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，，
即．

18.
证明：因为
，
所以，
当且仅当，时，不等式中等号成立．
，
当且仅当，即或时，不等式中等号成立．
所以的最小值为．

19.，
所以；
设一次函数的解析式为，
则，解得
所以．

20.
由题知，解得．
，，对称轴．
当即时，函数在上单调增，
则
当即时，函数在上单调减，在上单调增，
则
当即时，函数在上单调减，
则
综上，

21.解：每吨平均成本为万元，则，
当且仅当，即时取等号，
年产量为吨时，每吨平均成本最低为万元．
设年获得总利润为万元，则，
在上是增函数，时，有最大值为万元，
年产量为吨时，可获得最大利润万元．
22.
令，则，可得；
在上单调递减，证明如下：
由已知，对于有成立，，
令，则，
所以，对有，故是奇函数，
任取且，则，由已知有，
又，得
所以在上是减函数；
因为，
所以，
即，
因为在上是减函数，
所以，即，又，
所以，
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为．
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．

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