安徽省黄山市八校联考2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年安徽省黄山市“八校联盟”高二上学期11月期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，向量，且，则( )
A. B. C. D.
2.若直线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知点是直线上一点，且是直线的一个方向向量，若角的终边落在直线上，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在三棱锥中，是线段的中点，则( )
A. B.
C. D.
5.已知圆被轴截得的弦长为，圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体中，，，则( )
A. B. C. D.
7.点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题若曲线，且点，分别在曲线和圆：上，则，两点间的最大距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，下列说法正确的是( )
A. 若共线，则
B. 已知，若，则
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若向量能构成空间的一个基底，则也能构成空间的一个基底
10.若，直线，则下列说法正确的是( )
A. 直线过定点
B. 直线一定经过第一象限
C. 点到直线的距离的最大值为
D. 的充要条件是
11.已知椭圆分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为和下列结论正确的是( )
A. 椭圆的离心率为
B. 存在点，使得
C. 若，则外接圆的面积为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆：的焦点在轴上，则实数的取值范围为 ．
13.古希腊数学家阿波罗尼斯约公元前年公元前年的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆已知点，点满足，则点的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为 ．
14.在长方体中，，点为线段上一点不在端点处，当时，的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，点，，分别为的中点．
证明：平面；
若，求直线与平面的距离．
16.本小题分
已知椭圆，其左、右焦点分别为，上顶点为，为坐标原点，且的面积为．
求椭圆的标准方程；
若，求椭圆上的点到直线距离的最大值．
17.本小题分
已知四棱锥中，底面四边形是正方形，底面，是线段的中点，在线段上，且满足与所成的角为．

证明：；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，圆为过点的圆．
求圆的标准方程；
过点的直线与交于，两点，求弦中点的轨迹方程；
从点发出的光线射到轴上，被轴反射后的光线与圆相切，求所在直线的方程．
19.本小题分
若椭圆：上的两个点满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，点，互为共轭点显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为．
当点坐标为时，求；
当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值；
证明：的面积为定值．
参考答案
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15.
因为为直三棱柱，所以，
又，分别为，的中点，所以，
所以，
又平面平面，
所以平面；
因为为直三棱柱，且，
以为坐标原点，分别以所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因，则，
则，
因为，则，即，
设平面的法向量为，
则，解得，取，则，
所以平面的一个法向量为，
又，即，
所以点到平面的距离，
因为，分别为，的中点，故有直线平面，
所以直线与平面的距离即为点到平面的距离，
故直线与平面的距离．

16.
在中，，
，
，
，
，
又，
，
联立，解得或
椭圆的 标准方程为或；
，
椭圆的标准方程为，
直线的方程为，即，
设直线的方程为，
联立
得，
令得或，
结合图形可知，当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最大，
此时直线的方程为．
距离的最大值为．

17.
因为底面，且底面，
所以，
又因为为正方形，可得，
因为，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，即为，且是线段的中点，
所以，
又因为，且平面，
所以平面，
因为平面，所以；
根据题意可知，以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设正方形的边长为，可得，
可得，
则，
因为在线段上，设，其中，
则，
因为与所成的角为，
可得，
解得，所以，所以，
可得，
设平面的法向量为，则
令，可得，所以，
又，
设平面的法向量为，则
令，可得，所以，
设平面与平面的夹角为，
可得
故平面与平面夹角的余弦值为．

18.
设圆的标准方程为，故有：
所以圆的标准方程为；
设弦的中点，

当直线斜率不存在时，点与点重合，
当直线斜率为时，点与点重合，
当直线斜率存在且不为时，由垂径定理知，
点的轨迹是以为直径的圆．
由，
得，，
整理得：；
因为圆关于轴的对称圆的方程：，
设的方程为，即，
由于对称圆心到的距离为圆的半径，
则，从而可得或．
当时，反射光线所在直线与圆相切，反射光线不与圆相切，故，
故光线所在直线的方程是．

19.
的共轭点分别记为，
，
直线的方程为，
联立得，
，
；
点在椭圆上，
，即，
由知，直线的方程为，即，
当时，直线的方程为，代入，
得，即，
，
，
当时，易知，对应共轭点为，
此时，故也成立，
，当且仅当时等号成立；
由知，对任意点，都有，
，
点到直线的距离为，
的面积，
故的面积为定值．

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