襄阳四中2024级高一年级11月月考
数学试卷
考试时间：2024年11月13日 15：00-17：00
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C C C C D AC CD
11. ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.
【答案】(端点开闭都正确)
13.【答案】
14.
【答案】 ①. ②.
四、解答题（本题共5小题，共77分.）
15.
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，由函数有意义，列不等式组求得集合，即可求得；
（2）先求出，再由德摩根定律，求出，即得.
【小问1详解】
由可得，或，则或，
由有意义，可得，即，故，
则；
【小问2详解】
由（1）可得，或，
由德摩根定律可知，.
16.
【分析】（1）根据，可将原式化简，即可求解；
（2）根据减函数定义，可证明；
（3）由（2）知在区间上单调递减，列出方程组即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
，且，
则，
因为，则，，
则，故在上单调递减；
【小问3详解】
由（2）得在上单调递减，
所以，解得，
所以可得，即所求范围是
17.
【解析】
【分析】（1）先进行参变分离，再结合基本不等式求最值即可求解；
（2）将问题转化为为奇函数，利用奇函数的定义列方程求解.
【小问1详解】
解：由题，在恒成立，
即恒成立，
因，等号在时取得，
则；
【小问2详解】
解：时，，
若存在对称中心，则为奇函数，
，
因为奇函数，
则，
所以存在点为
18.
【解析】
【分析】（1）代入，将表达为分段函数判断即可；
（2）将函数取绝对值可得函数单调性，结合题意可得函数在上最大值，最小值，再结合函数函数单调性与最值分析临界条件可得，进而求解绝对值不等式即可.
【小问1详解】
当时，，
由二次函数单调性知在单调递减，在单调递减，
∴的单调递减区间为
【小问2详解】
当时，，
故在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，
又函数在上既有最大值又有最小值，则最大值，最小值.
当且时，有，解得，故，
当且时，由，解得，故，
∵，
∴，
∴，
∴或.
19.
【解析】
【分析】（1）、求出函数的解析式，再根据分母不为零求定义域即可；
（2）、求出，结合即可得证；当为整数时等号成立，解出即可;
（3）、求出表达式，在定义域内分，，，，五种情况，求出的范围即可.
【小问1详解】
,..
由，则，函数的定义域;
【小问2详解】
证明：,,
当且时，,
而，.
当整数，即时取等号.
【小问3详解】
,.,.
,.且.
①、当时，则，且，，与矛盾，故不符合题意；
②、当时，则，且，，与矛盾，故不符合题意；
③、当时，则，，，；
④、当时，则，且，，与矛盾，故不符合题意；
⑤、当时，则，且，，与矛盾，故不符合题意；
综上所述：襄阳四中2024级高一年级11月月考
数学试卷
考试时间：2024年11月13日 15：00-17：00
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1. 化简的结果是（）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
3. 已知，，为实数，则“”是“”（）
A充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若，则（）
A B. C. D.
5. 若，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（）
A. B. C. D.
7. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知定义在上函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（）
A. B. C. 2 D. 1
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）
9. 下列说法中正确的是（）
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10. 下列与函数有关的命题中，正确的是（）
A. 若，则
B. 若幂函数的图象经过点，则
C. 若奇函数在有最小值，则在有最大值
D. 若偶函数在是减函数，则在是增函数
11. 设函数，其中表示x，y，z中的最小者，下列说法正确的有（）
A. 函数为偶函数
B. 不等式的解集为
C. 当时，
D. 当时，
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 函数的单调递减区间为__________.
13. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则______.
14. 已知函数，若有且仅有不相等的三个正数，使得，则的值为_________，若存在，使得，则的取值范围是_________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.）
15. 已知集合，的定义域为集合，为实数集．
（1）求；
（2）求.
16. 已知函数．
（1）计算；
（2）用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减；
（3）若函数定义域为，且，求实数a的取值范围．
17. 已知
（1）若在区间恒成立，求取值范围；
（2）当时，是否存在点，使得的图像关于点对称？若存在，求出点，若不存在，请说明理由；
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若函数在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求实数的取值范围.
19. 表示不超过的最大整数，例.已知函数，.
（1）求函数的定义域；
（2）求证：当且时，总有，并指出当为何值时取等号；
（3）解关于的不等式.
