高二期中联考
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C A B D D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9 10 11
BD BC BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行得到方程，解出即可；
（2）首先求出两直线所过定点，再得到距离最大时的状态，最后根据两直线垂直得到斜率关系即可.
【小问1详解】
由直线过，则，此时
当时，，解得，经验证此时两直线平行.
【小问2详解】
，即，当，，则直线恒过定点，
，令，则，则直线恒过定点，
故当且与和的连线垂直时，与的距离最大，
因为两定点连线斜率为，则此时的斜率为，
故，
直线的方程为:.
16.
【解析】
【分析】（1）分析可知：若王阳第三次答题通过面试，则前次均不通过，结合独立事件概率求法运算求解；
（2）先求王阳未通过面试的概率，结合对立事件概率求法运算求解.
【小问1详解】
记“王阳第三次答题通过面试”为事件，
若王阳第三次答题通过面试，则前次均不通过，
所以王阳第三次答题通过面试的概率为.
【小问2详解】
记“王阳最终通过面试”为事件，
王阳未通过面试的概率为，
所以王阳最终通过面试的概率.
17.
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明平面，即可得结果；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求平面与平面夹角的余弦值．
【小问1详解】
过作，垂足为，
在等腰梯形中，，，，
可知，所以，
故，
可得，
则，即，
又因为，则，
且，平面，平面，可得平面，
由平面，所以.
【小问2详解】
因为平面，平面，则平面平面，
过点作平面，则平面，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面法向量为，
则，
令，则，，
可得为平面的一个法向量，
设平面法向量为，
则，
令，则，，
可得为平面的一个法向量，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18.
【解析】
【分析】（1）根据题意可知：圆的圆心为，半径，结合向量可得，即可得结果；
（2）分析可知圆与圆内切，可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【小问1详解】
若，则圆的圆心为，半径，
因为，
所以.
【小问2详解】
因为圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
若圆与圆只有一条公切线，则圆与圆内切，
则，则，
即，且，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值9.
19.
【解析】
【分析】（1）设，可得，代入圆即可得结果；
（2）根据题意可得的方程为.（i）可知圆在椭圆内，即可得结果；（ⅱ）设，联立方程求得，可得，即可得结果.
【小问1详解】
设，
因为，则，
又因为点在圆上，则，
所以点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
若，则的方程为，即，
（i）与圆没有交点，理由如下：
由题意可知：圆在椭圆内（有且仅有两个交点），
但动点为轨迹外一点，所以与圆没有交点；
（ⅱ）由题意可知：，
设，则直线，
联立方程，消去y可得，
则，可得，
则，
令，解得，
由题意可知，
因为，则，
又因为，可得，
所以的取值范围为.高二期中联考
数学
班级：__________姓名：__________准考证号：__________
（本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，将答题卡上交.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
2. “”是“直线与直线垂直”的（）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列说法错误的是（）
A. 若空间中点，，，满足，则A，，三点共线
B. 对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面
C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
D. ，，若，则与夹角为锐角
4. 在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
5. 抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（）
A. B.
C. D.
6. 已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（）
A. B. C. D.
7. 如图所示，在直四棱柱中，底面为菱形，，，动点在体对角线上，直线与平面所成角的最小值为，则直四棱柱的体积为（）
A. B. C. D.
8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（）
A.
B.
C. 的图象关于点对称
D. 的图象关于直线对称
10. 如图、在正四棱柱中，点为线段上一动点，，则下列说法正确的是（）
A直线平面
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥外接球的表面积为
D. 存在点使直线与平面所成角
11. 曲线是平面内与两个定点，的距离的积等于的点的轨迹，则下列结论正确的是（）
A. 点到轴距离的最大值为 B. 点到原点距离的最大值为
C. 周长的最大值为 D. 最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为______.
13. 在中，，点在上，满足，，.则的面积为__________
14. 已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为__________、
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线，，其中、.
（1）若直线经过点，且，求值；
（2）若直线，当直线与直线的距离最大时，求直线的方程.
16. 某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.
（1）求王阳第三次答题通过面试的概率；
（2）求王阳最终通过面试概率.
17. 如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且，点为线段靠近点的三等分点.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知圆与圆，，.
（1）当时，直线与圆交于，两点，若，求；
（2）若，圆与圆只有一条公切线，求的最小值.
19. 如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）当时，点的轨迹方程记为.
（i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.
