2024-2025学年福建省福州三中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州三中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，，，，则下列正确的是( )
A. B.
C. D.
3.是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的值域为( )
A. B. C. D.
5.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的倍，则为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.当，时，，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的值域为集合，函数的定义域为集合，则( )
A. B. C. D.
10.关于的不等式的解集为，或，则( )
A.
B.
C.
D. 不等式的解集为
11.已知正实数，，满足，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算 ______．
13.，，则实数的取值范围是______．
14.已知函数的图象关于轴对称，则 ______；当时，，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数，．
当时，，求实数的取值范围；
当时，试比较与的大小关系．
17.本小题分
弗里热是年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物企业结合市场部的调研报告，决定设计限量款周边并在年月进行销售经产品评估，生产此限量款周边的固定成本为万元，每生产单位：千件限量款周边，需可变成本万元，其中，市场调研可知，当生产千件限量款周边时，可变成本为万元．
求生产万件限量款周边所需的平均成本；
已知每千件周边定价万元，且销路畅通供不应求当产量为多少千件时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
18.本小题分
已知定义在上的函数，，对，，都有，且当时，．
求的值；
判断在上的单调性，并用定义证明单调性；
若，求关于的不等式的解集．
19.本小题分
已知是定义在上的奇函数．
求的值；
解关于的方程；
若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围．
参考答案
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15.解：集合，
当时，，
所以；
若，则，
当时，则，
解得；
当时，则，
解得，
综上所述，的取值范围为
16.解：函数，．
当时，由二次函数的性质可得，解得；
当时，恒成立；
综上实数的取值范围为．
，，
，
令可得或或，
又，
所以当时，；
当时，；
当时，．
17.解：由题意可得，，解得，
所以当时，平均成本为元，
则生产万件限量款周边所需的平均成本为元；
设当产量为千件时，企业所获得的利润最大，
最大利润为，
当且仅当即时取等号，此时最大利润为万元，
所以当产量为千件时，企业所获得的利润最大，最大利润为万元．
18.解：因为且，
令，，则，
令，则，即，
所以．
在上单调递增，证明如下：
因为，，都有，即，
在上任取，且，则，
当时，，
所以，
又，
所以函数在上单调递增．
不等式，即，
即，
因为，
即，
又函数在上单调递增，所以不等式等价于，
即，又，所以不等式等价于，
当时，不等式等价于，所以不等式的解集为；
当时，解得，即不等式的解集为；
当时，解得，即不等式的解集为；
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
19.解：由是定义在上的奇函数，
得，解得，
，
，
即是奇函数，
所以．
令，则方程化为，
即，
解得或，
由知，
当时，，即，无解，
当时，，即，解得，；
所以原方程的解为．
由知，
函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
函数在上单调递增，依题意，，
即，
令，因此，是方程，
即的两个不等的正根，
于是，解得，
所以的取值范围是．
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