2023-2024学年四川省成都实验外国语学校高二（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年四川省成都实验外国语学校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等比数列中，若，则( )
A. B. C. D.
2.函数的单调增区间为 ．
A. B.
C. D.
3.已知既有极大值又有极小值，则的取值范围为( )
A. 或 B. C. D. 或
4.设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5.若将包含甲、乙在内的名教师全部分配到两所学校支教，每校至少分配人，则甲、乙不在同一学校的分配种数为( )
A. B. C. D.
6.已知为等差数列的前项和，且，，记，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和，则下列结论正确的是( )
A. 数列是等差数列 B.
C. 的最大值为 D.
10.为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续天则下列结论正确的是( )
A. 从六位专家中选两位的不同选法共有种
B. “呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有种
C. “护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有种
D. “护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有种
11.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. 在上单调递减
B. 恰有一个极大值
C. 当时，有三个零点
D. 当时，有三个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的常数项是______．
13.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为______．
14.已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数的取值范围是______，的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
求在区间上的最大值与最小值．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且．
求抛物线的方程；
若直线与抛物线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．
18.本小题分
已知数列满足，，且对，都有．
Ⅰ设，证明数列为等差数列；
Ⅱ求数列的通项公式；
Ⅲ求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
令，若存在，且时，，证明：．
参考答案
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15.解：函数的定义域为，
求导得，
因为曲线在点处的切线斜率为，
所以，
即，
解得．
令，即，
解得，或，
因为，
当变化时，，的变化情况如表所示：
单调递减 单调递增
所以在区间上的最大值是，最小值是．
16.证明：连接，设，连接，则为的中点，
因为为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面D.
Ⅱ解：因为，，且，
所以平面，
又平面，所以，
又，
所以，，两两相互垂直，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则即
令，所以，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
所以，
由题意知，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
17.解：由题意得：，
解得，或舍去，
所以抛物线的方程为；
证明：方法一：当直线斜率存时，
设直线：，，，
则，消去，整理得，
则，，，
而，
整理得，所以，
所以直线：，所以直线过定点；
如图，当直线斜率不存在时，设直线：，
则，，则，得，
所以直线：，则点在直线上，
综上：直线过定点．
方法二：设，，
则，
则，直线的方程为，
则，
所以直线过定点．
18.Ⅰ证明：，，
，
即，则数列为等差数列；
Ⅱ解：，，，，
，
又，
当时，，，，，累加有，
则．
也符合上式，则对，；
Ⅲ解：，
，
，
，
．
19.解：因为定义域为，，
所以当时，恒成立，所以在上单调递增
当时，由得，由得，
即在上单调递增，在上单调递减，
综上可得当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
当时，不等式恒成立在上恒成立，
设，，所以，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，所以；
证明：因为，，
所以
，
令，则，
所以在上单调递增，不妨设，
所以
，
所以，
要证，即，只需证，
令，只需证，只需证，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即成立，
所以，即．
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