天津市河西区2024-2025学年高三上学期期中考试 数学（含答案）

河西区2024－2025学年度第一学期高三年级期中质量调查
数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷5至8页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集，集合，集合，则
（A） （B） （C） （D）
（2）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
（3）下列不等关系式中，正确的是
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
（4）已知，，则
（A）25 （B）5 （C） （D）
（5）已知，，且，则的最大值为
（A）6 （B） （C） （D）
（6）已知函数，则
（A）是偶函数，且在区间上单调递增 （B）是偶函数，且在区间上单调递减
（C）是奇函数，且在区间上单调递增 （D）是奇函数，且在区间上单调递减
（7）已知，，，若，则
（A） （B） （C） （D）
（8）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则
（A） （B） （C） （D）
（9）已知函数有下列结论：
①最小正周期为；
②点为图象的一个对称中心；
③若在区间上有两个实数根，则实数a的取值范围是；
④若的导函数为，则函数的最大值为.
则上述结论正确的是
（A）①② （B）②③ （C）①④ （D）①③④
河西区2024－2025学年度第一学期高三年级期中质量调查
数学试卷
第Ⅱ卷
注意事项
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共11小题，共105分。
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
（10）已知角的终边上有一点，则________.
（11）已知数列满足，点在函数的图象上，其中k为常数，且，，成等比数列，则________.
（12）化简：________.
（13）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则________.
（14）在平面四边形ABCD中，，，，若，则________；若P为线段BC上一动点，当取得最小值时，则________.
（15）已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是________.
三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（16）（本小题满分14分）
已知函数的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象.
（i）求的解析式及值；
（ii）求上的值域.
（17）（本小题满分15分）
如图，△ABC中，，，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D.
（Ⅰ）用，表示；
（Ⅱ）设，求的值；
（Ⅲ）若，，求△ABC面积的最大值.
（18）（本小题满分15分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若，BC边上的高为.
（i）求C的值；
（ii）求的值.
（19）（本小题满分15分）
设是等比数列，公比大于0，是等差数列.已知，，，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前n项和为，求的值；
（Ⅲ）设其中，求.
（20）（本小题满分16分）
已知函数（，为自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程：
（Ⅱ）当时，讨论的单调性；
（Ⅲ）若集合有且只有一个元素，求a的值.
天津市河西区2024－2025学年高三上学期期中质量调查数学试卷答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D B D C C A B D C
二、填空题
10 11 12 13 14 15
2 ；
三、解答题
16、（1）由图可知，，，所以，.
将点代入得，.
又，所以，
所以.
（2）将的图象向左平移个单位长度，得，
再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，
所以，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
故在上的值域为.
17、解析 由点是的中点，
得.
设，，，，
则，①
又
，②
所以对比①②得得
所以，即，
因为，，
所以
，
即，当且仅当，即时等号成立，
此时面积最大，为.
18、解：（1）因为，，为的内角，
所以，
因为，
所以可化为：，
即，
即，
因为，解得：.
（2）由三角形面积公式得，所以，
由余弦定理得：，
解得：或舍去，，
19、（1）设数列的公比为，，数列的公差为，
因为且，所以，
解得或，又因为，所以，
所以，，
则，，
因为且数列是等差数列，
所以，，
又，所以，，
所以，，，
所以，。
所以数列的通项公式为，，
数列的通项公式为，。
20、（1）由题意，
在中，
，
中，
当时，，，
中，，
曲线在点处切线的斜率为
（2）由题意及（1）得，
在中，
，
当时，，
即，此时，
当时，，函数单调递增，
当时，，
函数单调递减，
函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）函数，求导得，
显然，当时，的定义域为，
不等式恒成立，即在上单调递增，
又与已知矛盾，即不合题意；
当时，的定义域为，此时，
则当时，，当时，，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
因此.
设，则，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增.
所以集合有且只有一个元素时.