24.2.2.2切线的判定与性质 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
第24章
圆
九年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
九年级 上册
24.2.2.2
切线的
判定与性质
知识回顾
图形
公共点个数
直线与圆的 位置关系
公共点名称
直线名称
2 个
交点
割线
1 个
切点
切线
0 个
相离
相切
相交
情境引入
思考：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的
思考：如何判断一条直线是切线？
都是沿切线方向飞出的.
新知探究
A
B
C
思考：已知圆 O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作圆 O 的切线？
思考：
（1） 圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的
半径有什么数量关系
（2）二者位置有什么关系？为什么？
O
直线与圆相切的判定定理
新知探究
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
∵ l⊥OA 且OA为圆O的半径
∴ l是⊙O的切线
几何语言表示:
Ｏ
A
B
C
新知探究
思考：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
不是，没有垂直.
不是，没有经过半径的外端点
O.
A
O.
A
O
A
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，
两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
判断一条直线是一个圆的切线有三种方法
新知探究
定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
l
A
l
O
l
r
d
典例精析
例1
如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．
求证：AC 是⊙O 的切线．
B
C
D
A
E
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB = r.
∴ AC 是⊙O 的切线.
典例精析
例2
如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，且AC： AB ：BC：2.求证：AC 是☉O 的切线.
证明：∵AC： AB ：BC：2，
设AC=x,则 AB =x，BC=2x，
则+=,
根据勾股定理的逆定理，
得
∠BAC = 90°，即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，
∴ AC 是☉O 的切线.
A
O
C
B
归纳总结
新知探究
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
新知探究
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
A
l
O
反证法
你能证明吗？
切线的性质
新知探究
思考：如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？
A
l
O
切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
应用格式
新知探究
（1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作
OM⊥CD，垂足为 M；
理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直.
（2）则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的
距离小于⊙O 的半径，因此，CD
与⊙O 相交. 这与已知条件“直线
与⊙O 相切”相矛盾；
C
D
B
O
A
（3）所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直.
M
证法：反证法
性质定理的证明
归纳总结
新知探究
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
(2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
切线的性质
新知探究
1.圆的切线和圆只有一个公共点.
2.圆心到切线的距离等于半径.
3.圆的切线垂直于过切点的半径.
4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.
5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
A
l
O
典例精析
例3
如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理.
解：因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行.
则连接两切点之间的线段就是圆的
直径，利用图中刻度尺就可以测量
出圆形工件的直径.
典例精析
例4
如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
O
P
B
A
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,
OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得 r=3，
即⊙O的半径为3.
典例精析
例5
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，
∴∠B=∠OPB
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
A
B
C
P
E
O
典例精析
例6
如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线
AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
典例精析
例7
如图， AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B是切点. l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.
解： l1 ∥ l2.理由如下：
∵直线l1，l2是⊙O的切线，
∴ AB⊥l1 ，
∴ AB⊥l2，
∴ l1∥l2.
A
B
.
O
l2
l1
典例精析
例8
如图，AB是⊙O的直径, AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O的切线,交AC的延长线于点E. 求证：DE⊥AC.
证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠DAO. 又∵OA=OD.
∴∠DAO=∠ODA.
∴∠ODA=∠EAD. ∴OD∥AC.
又∵DE是⊙O的切线,
∴∠ODE=90°. ∴∠E=90°.即DE⊥AC.
典例精析
例9
如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O交于 B、C 两点，∠P = 30°，连接 AO、AB、AC.
求证：△ACB≌△APO.
O
A
B
P
C
证明：∵ PA 为⊙O 的切线，A 为切点，
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.
又 OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形.
∴ AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵ BC 为 ⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB 和 △APO 中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP，
∴△ACB≌△APO (ASA).
归纳总结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的
性质
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直
当堂检测
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于( )
A.24° B.25°
C.28° D.30°
C
2. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于点 P，则∠ADP 的度数为 （ ）
A．40° B．35°
C．30° D．45°
C
P
O
D
A
B
C
当堂检测
3．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于_______时，AC才能成为⊙O的切线．
4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.
若∠A＝25°，则∠D＝__________．
60°
40°
当堂检测
5.如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的半径为8cm，AB=10cm，则OA的长为 cm.
6. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12，则 PA 与☉O 的位置关系是 .
A
P
O
相切
当堂检测
7. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.
求证：AT是⊙O的切线.
证明：
∵ AT=AB，
∴∠T=∠ABT=45°，
∴∠TAB=90°，
∴BA⊥AT，
∴AT是⊙O的切线.
A
B
.
O
T
当堂检测
8.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.
O
A
B
P
证明：连接OP.
∵AB切⊙O于点P，
∴OP⊥AB.
∴AP=BP(垂径定理).
当堂检测
9.如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于点 B，连接 AB. 若∠B = 25°，求∠P 的度数.
B
O
P
A
解：如图，连接 OA.
∵ PA 是⊙O 的切线，
∵∠AOP = 2∠B = 50°，
∴∠P = 90° - 50° = 40°.
∴∠OAP = 90°.