第2节　导体的电阻 学案

第2节　导体的电阻(赋能课—精细培优科学思维)

课标要求
层级达标
通过实验，探究并了解金属导体的电阻与材料、长度和横截面积的定量关系。
学考
层级
1.知道电阻的定义，体会运用比值定义物理量的方法。
2.通过对决定导体电阻的因素的探究，体会控制变量的研究方法。
3.理解电阻率的概念及物理意义，了解电阻率与温度的关系。

选考
层级
1.能根据I?U图像或U?I图像求导体的电阻。
2.能用伏安特性曲线分析不同导体导电性能的区别。


一、电阻　影响导体电阻的因素
1．定义：导体两端的电压与导体中电流之比。
2．定义式：R＝。
3．物理意义：反映导体对电流的阻碍作用的物理量。

4．导体的U?I图像
(1)同一导体的U?I图像是一条过原点的直线。
(2)图像的斜率反映了导体电阻的大小。
5．影响导体电阻的因素
(1)探究电路(如图所示)

(2)探究原理：a、b、c、d是四条不同的金属导体，串联连接在电路中，电流大小相同，各导体两端的电压与电阻之比都相等。
(3)探究思路：在长度、横截面积和材料三个因素中，b、c、d跟a相比，分别只有一个因素不同，比较b、c、d与a的电阻关系。
(4)探究结果：导体的电阻与长度、横截面积有关，与导体的材料也有关。

　　
虽然电阻R＝，但电阻与电压、电流无关，而是由导体本身决定的。
二、导体的电阻率
1．电阻定律的内容：同种材料的导体，其电阻R与它的长度l成正比，与它的横截面积S成反比；导体电阻还与构成它的材料有关。
2．表达式：R＝ρ。
3．电阻率
(1)物理意义：表征导体材料的导电特性。
(2)相关因素：与导体的材料和导体的温度有关。
(3)超导现象：一些金属在温度特别低时电阻可以降到0的现象。

导体的电阻率小，电阻不一定小，即电阻率小的导体对电流的阻碍作用不一定小。
[微情境·大道理]
1．导体两端的电压为零时，导体的电阻也为零吗？
提示：电阻是导体本身的固有属性，与导体两端的电压和通过导体的电流无关，电压为零时，导体的电阻不为零。
2.在做“探究导体中的电流与导体两端电压和电阻的关系”的实验时，闭合开关S前，滑动变阻器滑片的位置应该在图中的哪一侧？
提示：最左侧。为保证电路中电表的安全，闭合开关S前，应让电流表所在支路处于被短路状态，这样闭合开关后该支路中的电流才能从零开始增大，因此闭合开关S前滑动变阻器滑片的位置应位于最左侧。
3．如图所示，将一条长度为l、截面直径为d的铂丝绕成一线圈，与电源、灯泡、电流表、电压表、开关组成一电路。

闭合开关，观察灯泡的亮度，记下此时电流表和电压表的示数；然后用酒精灯对铂丝加热，再观察灯泡的亮度，记录电流表和电压表的示数。
(1)酒精灯未加热时，能否求出铂丝的电阻？
提示：可根据电流表和电压表的示数求出铂丝的电阻。
(2)酒精灯加热前后灯泡亮度是否变化？请解释看到现象的原因。
提示：灯泡亮度变暗。由电流表和电压表此时的示数求出铂丝的电阻，发现铂丝电阻变大，而长度和横截面积几乎不变，根据公式R＝ρ，可知其电阻率变大了，说明铂的电阻率随温度升高而变大。

强化点(一)　对电阻的理解
任务驱动　
如图所示的图像为金属导体A、B的U?I图像，思考：
(1)对导体A(或导体B)来说，电流与它两端的电压有什么关系？U与I的比值怎样？
提示：对导体A(或导体B)，电流与它两端的电压成正比，导体A或导体B的电压与电流的比值是定值，但两者的比值不相等。
(2)对导体A、B，在电压U相同时，谁的电流小？谁对电流的阻碍作用大？
提示：电压相同时，A的电流小，说明A对电流的阻碍作用大。
[要点释解明]
1．R＝是电阻的定义式，比值表示一段导体对电流的阻碍作用，对给定的导体，它的电阻是一定的，与导体两端是否加电压、导体中是否有电流无关。
2．I＝是欧姆定律的数学表达式，表示通过导体的电流I与电压U成正比，与电阻R成反比，常用于计算一段电路加上一定电压时产生的电流，适用条件是金属或电解质溶液导电(纯电阻电路)。

[题点全练清]

1．(多选)下列说法正确的是(　 )
A．电流流过导体时，沿电流方向电势逐渐降低
B．由R＝知，一般导体的电阻与它两端的电压成正比，与通过它的电流强度成反比
C．由I＝知，通过一段导体的电流强度与加在它两端的电压成正比
D．对确定的线性元件而言，比值恒定，不随U或I的变化而变化
解析：选ACD　电流流过导体时，形成的场强沿电流方向，沿电场方向电势逐渐降低，A正确；R＝是电阻的定义式，而电阻只与导体本身有关，与所加的电压和通过的电流无关，B错误；由I＝可知，当电阻一定时，通过一段导体的电流强度与加在它两端的电压成正比，C正确；对确定的线性元件而言，导体的电阻一定，比值恒定，不随U或I的变化而变化，D正确。
2．(多选)对于欧姆定律，下列理解正确的是(　 )
A．从关系式U＝IR可知，对于阻值一定的导体，通过它的电流越大，它两端的电压也越大
B．从关系式R＝可知，导体两端的电压为零时，导体的电阻也为零
C．从关系式I＝可知，对于阻值一定的导体，当导体两端的电压增大一倍时，导体中的电流也增大一倍
D．从关系式R＝可知，导体两端电压越大，电阻R也越大
解析：选AC　对于阻值一定的导体，根据U＝IR可知，电流I越大，电压U越大，A正确；导体的电阻是由导体本身的性质决定，与U、I无关，故B、D错误；对于电阻一定的导体，导体中的电流与导体两端的电压成正比，故C正确。
强化点(二)　电阻定律与电阻率

[要点释解明]
1．公式R＝ρ是导体电阻的决定式，图中所示为一块长方体铁块，若通过电流为I1，则R1＝ρ；若通过电流为I2，则R2＝ρ。
导体的电阻反映了导体阻碍电流的性质，是由导体本身决定的。
2．公式R＝ρ的适用条件：温度一定、粗细均匀的金属导体或浓度均匀的电解质溶液。
3．R＝ρ与R＝的比较

R＝ρ
R＝
意义
电阻定律的表达式，也是电阻的决定式
电阻的定义式，R与U、I无关
作用
提供了测定电阻率的一种方法：ρ＝R
提供了测定电阻的一种方法：伏安法
适用
范围
适用于粗细均匀的金属导体或浓度均匀的电解液、等离子体
纯电阻元件
联系
导体的电阻取决于导体本身的材料、长度和横截面积，而不是U和I

[典例]　两根完全相同的金属导线A和B，如果把其中的一根导线A均匀拉长到原来的2倍，把另一根导线B对折后绞合起来，则它们的电阻之比为多少？
[解题指导]
(1)导线拉长2倍后，导线的电阻率ρ不变，长度l变为原来2倍，体积不变，横截面积S变为原来的。
(2)R、ρ、l、S满足R＝ρ。
[解析]　金属导线原来的电阻为R＝ρ，拉长后l′＝2l，因为体积V＝lS不变，所以S′＝，R′＝ρ＝4ρ＝4R。
对折后l″＝，S″＝2S，所以R″＝ρ＝ρ＝，则R′∶R″＝16∶1。
[答案]　16∶1

[变式拓展]　上述[典例]中，若将变化后的A、B两个导线串联在同一电路中，则它们两端的电压之比为多少？
提示：两电阻串联时，电压之比等于电阻之比，故电压之比为16∶1。

应用R＝ρ解题的技巧
(1)明确导体的形状改变后，电阻率不会发生变化。
(2)导体的形状改变后，体积不变，由V＝l1S1＝l2S2确定l2与l1、S2与S1的关系。
(3)由R＝ρ确定电阻关系。　　

[题点全练清]
1．下列关于电阻率的叙述，正确的是(　 )
A．金属导体的电阻率随温度的升高而减小
B．常用的导线是用电阻率较小的铝、铜材料做成的
C．材料的电阻率取决于导体的电阻、横截面积和长度
D．金属电阻率在任何温度下都不可能为0
解析：选B　金属导体的电阻率随温度的升高而增大，故A错误；常用的导线是用电阻率较小的铝、铜材料做成的，故B正确；材料的电阻率由材料本身和外界温度决定，与导体的电阻、横截面积和长度均无关，故C错误；一些金属的电阻率在温度特别低时可以降到0，即发生超导现象，故D错误。
2.一块均匀的某种长方体金属材料样品，长为a，宽为b，厚为c，电流沿AB方向时测得样品的电阻为R，则电流沿CD方向时样品的电阻是(　 )
A.R　　　B.R　　　C.R　　　D.R
解析：选A　电流沿AB方向时S1＝bc，R＝ρ＝ρ，电流沿CD方向时S2＝ac，RCD＝ρ＝ρ＝R，故选A。
强化点(三)　导体的伏安特性曲线

[典例]　(多选)电阻R1、R2的伏安特性曲线如图所示，由图可知(　 )
A．R1为线性元件，R2为非线性元件
B．R1的阻值为tan 45° Ω，即1 Ω
C．R2的阻值随电压的增大而减小
D．当U＝1 V时，R2的阻值等于R1的阻值
[解析]　由题图可知，R1的伏安特性曲线为一条过原点的直线，故R1为线性元件，R2的伏安特性曲线是弯曲的，故R2是非线性元件，故A正确；电阻R1的伏安特性曲线为直线，图线与横轴的夹角大小与两坐标轴的长度单位选取有关，其夹角的正切值不能反映电阻值的大小，即R1的阻值不等于tan 45° Ω，应为U与I的比值，大小为2 Ω，故B错误；R2为非线性元件，其阻值大小等于对应状态时U与I的比值，可知R2的阻值随电压的增大而增大，当U＝1 V时，R2的阻值为2 Ω，故C错误，D正确。
[答案]　AD

[要点释解明]

1．伏安特性曲线：用纵坐标表示电流I，用横坐标表示电压U，这样画出的I?U图像叫作导体的伏安特性曲线。
2．区分I?U图像与U?I图像
伏安特性曲线是I?U图像，但同一元件中也经常出现对应的U?I图像，处理相关问题时，要先确定纵轴与横轴各代表什么，以及由此对应的图像上任意一点与坐标原点连线的斜率的具体意义，如图甲中R2R1。

3．I?U图线是曲线的问题
导体电阻RP＝，即电阻等于图线上点(UP，IP)与坐标原点连线的斜率的倒数，而不等于该点切线斜率的倒数，如图丙所示。

[题点全练清]

1．(多选)如图所示为A、B、C三个通电导体的I?U关系图像。由图可知(　 )

A．三个导体的电阻大小关系为RA>RB>RC
B．三个导体的电阻大小关系为RA C．若在导体B两端加上10 V的电压，通过导体B的电流是2.5 A
D．若在导体B两端加上10 V的电压，通过导体B的电流是40 A
解析：选BC　在线性元件的I?U图像中图线的斜率表示电阻的倒数，斜率越大，表示电阻越小，所以三个导体的电阻的大小关系为RA

2.某一导体的伏安特性曲线如图中AB段(曲线)所示，关于导体的电阻，以下说法正确的是(　 )
A．对应于B点的电阻为12 Ω
B．对应于B点的电阻为40 Ω
C．工作状态从A变化到B时，导体的电阻因温度的影响改变了1 Ω
D．工作状态从A变化到B时，导体的电阻因温度的影响改变了9 Ω
解析：选B　根据电阻的定义式可以求出A、B两点的电阻分别为RA＝ Ω＝30 Ω，RB＝ Ω＝40 Ω，所以ΔR＝RB－RA＝10 Ω，故B正确，A、C、D错误。


A级——学考达标
1．关于导体的电阻，下列说法正确的是(　 )
A．导体的电阻与电压成正比，与电流成反比
B．电压一定时，导体的电阻越大，则电流越大
C．加在某导体两端的电压越大，其电流不一定越大
D．导体的电阻等于导体两端的电压与通过导体电流的比值
解析：选D　导体电阻不随电压、电流的改变而改变，A错误；由I＝可知，电压U不变时，R越大，电流越小，B错误；电压U越大，电阻不变时电流I越大，C错误；由电阻定义式R＝知D项正确。
2．(多选)关于电阻率的说法中正确的是(　 )
A．电阻率ρ与导体的长度l和横截面积S有关
B．电阻率反映材料导电能力的强弱，由导体的材料决定，且与温度有关
C．电阻率大的导体，电阻一定很大
D．有些合金的电阻率几乎不受温度变化的影响，可用来制作标准电阻
解析：选BD　电阻率反映材料导电能力的强弱，只与材料及温度有关，与导体的长度l和横截面积S无关，故A错误，B正确；由R＝ρ知，电阻率ρ大，电阻R不一定大，故C错误；有些合金的电阻率几乎不受温度变化的影响，可用来制作标准电阻，故D正确。
3．关于导体的电阻，下列说法正确的是(　 )
A．由关系式R＝可知，导体的电阻跟导体两端的电压成正比，跟导体中的电流成反比
B．所有材料的电阻率都是随温度的升高而增大
C．对于同种材料，导体越长，横截面积越小，导体的电阻越大
D．对于同种材料，导体越长，横截面积越大，导体的电阻越大
解析：选C　R＝是导体电阻的定义式，导体的电阻取决于导体的材料、接入电路的长度、横截面积以及温度，与其接入电路时的电压和电流无关，A错误；纯金属的电阻率随温度升高而增大，半导体材料的电阻率随温度升高而减小，B错误；由电阻定律R＝ρ可知，在温度一定时，对于同种材料，导体越长，横截面积越小，导体的电阻越大，C正确，D错误。
4．如图所示，a、b、c为同一种材料做成的电阻，b与a的长度相等，b的横截面积是a的两倍；c与a的横截面积相等，c的长度是a的两倍，当开关闭合后，三个理想电压表的示数关系是(　 )

A．V1的示数是V3的2倍
B．V1的示数是V2的2倍
C．V2的示数是V1的2倍
D．V2的示数是V3的2倍
解析：选B　由R＝ρ，a、b、c的电阻比为Ra∶Rb∶Rc＝2∶1∶4，三者串联，电流相等，则电压比等于电阻比，选项B正确。
5．如图中R1和R2是两个材料相同、厚度相同、表面均为正方形的导体，但R2的尺寸远远小于R1的尺寸。通过两导体的电流方向如图所示，则关于这两个导体的电阻R1、R2大小关系的说法正确的是(　 )

A．R1＝R2　　　　　 B．R1 C．R1>R2 D．无法确定
解析：选A　设正方形导体表面的边长为L，厚度为d，材料的电阻率为ρ，根据电阻定律得R＝ρ＝ρ＝，可见表面正方形的导体的电阻只与材料的电阻率及厚度有关，与导体的其他尺寸无关，故R1＝R2，A正确。


6.如图所示，为A、B两电阻的U?I图线，则关于两电阻的描述正确的是(　 )
A．电阻A的阻值随电流的增大而减小，电阻B的阻值不变
B．在两图线交点处，电阻A的阻值等于电阻B的阻值
C．在两图线交点处，电阻A的阻值大于电阻B的阻值
D．在两图线交点处，电阻A的阻值小于电阻B的阻值
解析：选B　根据欧姆定律可知R＝，由题图可知，随电流的增大，电阻A的图线上的点与原点连线的斜率越来越大，故A的电阻随电流的增大而增大，同理，电阻B的阻值不变，故A错误；两图线的交点处，电流和电压均相同，则由欧姆定律可知，两电阻的阻值大小相等，故B正确，C、D错误。
7．(多选)某导体中的电流随其两端电压的变化情况如图所示，则下列说法正确的是(　 )

A．所加电压为5 V时，导体的电阻是5 Ω
B．所加电压为12 V时，导体的电阻是14 Ω
C．由图可知，随着电压的增大，导体的电阻不断减小
D．由图可知，随着电压的增大，导体的电阻不断增大
解析：选AD　由题图可知，所加电压为5 V时，电流为1.0 A，则由电阻的定义式可得R＝＝ Ω＝5 Ω，A正确；所加的电压为12 V时，电流为1.5 A，则可得导体的电阻为R′＝ Ω＝8 Ω，B错误；由题图可知，随电压的增大，图线上的点与坐标原点连线的斜率减小，即导体电阻的倒数减小，则可知导体的电阻随电压的增大而不断增大，C错误，D正确。
8．在神经系统中，神经纤维分为有髓鞘和无髓鞘两大类。现代生物学认为，髓鞘是由多层类脂物质——髓质累积而成的，具有很大的电阻，经实验测得髓质的电阻率ρ＝8×106 Ω·m。某生物体中某段髓质神经纤维可视为高为20 cm、半径为4 cm的圆柱体，当在其两端所加电压U＝100 V时，该神经纤维发生反应，则引起神经纤维产生感觉的最小电流为(　 )
A．0.31 μA　　　　　　　　　 B．0.62 μA
C．0.15 μA D．0.43 μA
解析：选A　根据电阻定律，可得神经纤维的电阻为R＝ρ＝8×106× Ω≈3.18×108 Ω，根据欧姆定律得I＝＝ A≈0.31×10－6 A＝0.31 μA，故A正确，B、C、D错误。
9.有一种 “电测井”技术，用钻头在地上钻孔，在钻孔中进行电特性测量，可以反映地下的有关情况。如图所示为一钻孔，其形状为圆柱体，半径为10 cm，设里面充满浓度均匀的盐水，其电阻率ρ＝0.314 Ω·m，在钻孔的上表面和底部加上电压，测得U＝100 V，I＝100 mA，则该钻孔的深度为(　 )
A．50 m B．100 m
C．1 000 m D．2 000 m
解析：选B　盐水柱的电阻R＝＝1 000 Ω，由电阻定律R＝ρ，面积S＝πr2≈3.14×10－2 m2，联立解得h＝100 m，故A、C、D错误，B正确。
10．对于常温下一根阻值为R的金属电阻丝，下列说法正确的是(　 )
A．常温下，若将电阻丝均匀拉长为原来的10倍，则电阻变为10R
B．常温下，若将电阻丝从中点对折，电阻变为4R
C．加在电阻丝上的电压从0逐渐加大到U，则在任意状态下的的值不变
D．若把温度降到绝对零度附近，电阻丝的电阻突然变为零，这种现象称为超导现象
解析：选D　常温下，若将电阻丝均匀拉长为原来的10倍，则横截面积变为原来的，根据电阻定律R＝ρ可知，电阻变为原来的100倍，A错误；常温下，若将电阻丝从中点对折，长度变为原来的一半，横截面积变为原来的2倍，可知电阻变为，B错误；加在电阻丝上的电压从0逐渐加大到U，电阻丝的电阻率随温度发生变化，则电阻发生变化，可知的值发生变化，C错误；若把温度降到绝对零度附近，电阻丝的电阻突然变为零，这种现象称为超导现象，D正确。
11.(选自粤教版教材例题)工业上经常用“电导仪”来测定液体的电阻率。它是把两片金属放到液体中形成一个电容器形状的液体电阻，而中间的液体即电阻的有效部分，如图所示。A、B是两片面积为1 cm2的正方形铂片，间距d＝1 cm，把它们浸没在待测液体中。通过两根引线加上电压U，当U＝6 V时，测出电流I＝1 μA，那么这种液体的电阻率为多少？
解析：假设铂片A接在电源正极一端，则电流从铂片A通过液体流到铂片B，电流通过液体的长度d＝1 cm，横截面积S＝1 cm2。
根据电阻定律，可得
R＝ρ
由欧姆定律，可得液体接入电路的电阻
R＝
可得液体的电阻率
ρ＝＝＝ Ω·m＝6×104 Ω·m。
答案：6×104 Ω·m
B级——选考进阶
12．(2023·青岛二中期末)(多选)小强在探究定值电阻(该电阻的阻值不受温度的影响)两端电压和电流的关系，当在该电阻两端加U＝20 V的电压时，通过该电阻的电流为I＝5 A。下列说法正确的是(　 )
A．该电阻的阻值为4 Ω
B．如果仅将电压升高到30 V，则通过的电流为6 A
C．如果仅将该电阻换成阻值为10 Ω的定值电阻，则通过的电流应为2 A
D．当该电阻两端不加电压时，定值电阻的阻值应为零
解析：选AC　由欧姆定律得R＝＝ Ω＝4 Ω，该电阻的阻值为4 Ω，A正确；由于该电阻的阻值不受温度的影响，则仅将电压升高到30 V，通过该电阻的电流应为I1＝＝ A＝7.5 A，B错误；如果仅将电阻换为阻值为10 Ω的定值电阻，由欧姆定律得I′＝＝ A＝2 A，C正确；定值电阻的阻值是一定的，与其两端是否加电压无关，D错误。
13.如图所示，相距40 km的A、B两地架两条输电线，电阻共为800 Ω，如果在A、B间的某处发生短路，这时接在A处的电压表示数为10 V，电流表的示数为40 mA，则发生短路处距A处的距离为(　 )
A．6.25 km B．12.5 km
C．25 km D．31.25 km
解析：选B　设A与B间距离为L，从A处到短路点距离为x。根据欧姆定律有Rx＝，又由电阻定律有RAB＝ρ，Rx＝ρ，解得x＝12.5 km，故选项B正确。
14．给装在均匀玻璃管内的水银柱加一电压，使通过水银柱的电流为0.1 A，若将这些水银倒入一个内径为前者2倍的玻璃管内，接在同一电压上，通过水银柱的电流为多少？(水银均充满玻璃管)
解析：设水银柱在两种情况下的电阻分别为R1、R2，对应的长度、横截面积分别为l1、l2，S1、S2，由电阻定律得
R1＝ρ，R2＝ρ
在两种情况下水银的体积相同，所以有l1S1＝l2S2
又因为S1＝πr2，S2＝π(2r)2
所以S2＝4S1，l1＝4l2，
联立解得R1＝16R2
由欧姆定律得U＝R1I1＝R2I2
所以I2＝16I1＝1.6 A。
答案：1.6 A