第4节　串联电路和并联电路 学案

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第4节　串联电路和并联电路(赋能课—精细培优科学思维)
课标要求 层级达标
了解串、并联电路电阻的特点。 学考 层级 1.分析得出串联和并联电路电流、电压的关系，并理解其含义，体会严谨的推理过程。 2.掌握串并联电路电流、电压的关系，能计算串并联电路的总电阻。
选考 层级 应用串并联电路规律分析电流表及电压表的改装原理。
一、串、并联电路中的电流、电压和电阻关系
1．定义
(1)串联电路：把几个导体(用电器)依次首尾连接，接入电路的连接方式，如图甲所示。
(2)并联电路：把几个导体(用电器)的一端连在一起，另一端也连在一起，再将两端接入电路的连接方式，如图乙所示。
2．串联电路和并联电路的比较
串联电路 并联电路
电流 各处电流相等，即I＝I1＝I2＝… 总电流等于各支路电流之和，即I＝I1＋I2＋…
电压 总电压等于各部分电路两端电压之和，即U＝U1＋U2＋… 各支路两端电压相等，即U＝U1＝U2＝…
电阻 总电阻等于各部分电路电阻之和，即R＝R1＋R2＋… 总电阻的倒数等于各支路电阻的倒数之和，即＝＋＋…
二、电压表和电流表的电路结构
1．小量程电流表G(表头)的三个参量
2．电表改装原理
(1)电压表改装：将表头串联一个较大电阻，如图所示：
(2)电流表改装：将表头并联一个较小电阻，如图所示：
　　
改装后的电流表或电压表示数达到满偏时，流过表头G的电流大小与满偏电流Ig相同。
[微情境·大道理]
1.每年春节期间，大街小巷的树上都挂满了装饰用的串串小彩灯，当夜幕降临的时候，火树银花，非常好看。这些小彩灯的额定电压一般只有几伏，但接在220 V的家用照明电路上。
试对以下结论作出判断。
(1)这些小彩灯是串联连接。(√)
(2)这些小彩灯是并联连接。(×)
(3)这些小彩灯的电压是相等的。(√)
(4)若每个小彩灯的电阻为R，则这样的n个小彩灯连接后的总电阻为。(×)
2．“并联电路的总电阻小于任一支路的电阻”这一说法是否正确，为什么？
提示：正确。由＝＋＋…＋知，>，因此R3．实验室中的电流表和电压表一般有两个量程，均是由小量程的电流表改装而成的，试对以下说法作出判断。
(1)电压表中串联的电阻的作用是分去一部分电流。(×)
(2)改装后电压表的量程越大，其串联的分压电阻就越大。(√)
(3)若将分压电阻串联在电流表上改装成电压表后，增大了原电流表的满偏电压。(×)
(4)若将电阻并联在电流表上改装成大量程的电流表后，增大了原电流表的满偏电压。(×)
强化点(一)　串、并联电路的分析与计算
[要点释解明]
1．关于电压和电流的分配关系
(1)串联电路中各电阻两端的电压跟它们的阻值成正比，即＝＝…＝＝＝I。
(2)并联电路中通过各支路电阻的电流跟它们的阻值成反比，即I1R1＝I2R2＝…＝InRn＝I总R总＝U。
2．串、并联电路总电阻的比较
串联电路的总电阻R总 并联电路的总电阻R总
不同点 n个相同电阻R串联，总电阻R总＝nR n个相同电阻R并联，总电阻R总＝
R总大于任一电阻阻值 R总小于任一电阻阻值
一个大电阻和一个小电阻串联时，总电阻接近大电阻 一个大电阻和一个小电阻并联时，总电阻接近小电阻
相同点 多个电阻无论串联还是并联，其中任一电阻增大或减小，总电阻也随之增大或减小
[典例]　如图所示的a、d电路中，R1＝8 Ω，R2＝4 Ω，R3＝6 Ω，R4＝3 Ω。
(1)求电路中的总电阻。
(2)加在电路两端的电压U＝42 V时，通过每个电阻的电流是多少？
[解题指导]　在串、并联电路的有关计算中，首先要明确各电阻的串、并联关系，然后再结合串、并联电路的特点及电流、电压分配规律和欧姆定律列式计算。
[解析]　(1)R3、R4并联后的电阻为R34，则
R34＝＝ Ω＝2 Ω
R1、R2和R34串联，电路的总电阻
R＝R1＋R2＋R34＝(8＋4＋2) Ω＝14 Ω。
(2)根据欧姆定律I＝得电路中的总电流I＝3 A
由于R1、R2串联在干路上，故通过R1、R2的电流都是3 A。
设通过R3、R4的电流分别为I3、I4，由并联电路的特点得I3＋I4＝3 A，＝＝
解得I3＝1 A，I4＝2 A。
[答案]　(1)14 Ω　(2)I1＝I2＝3 A　I3＝1 A　I4＝2 A
[变式拓展]　上述[典例]中，如果将1 A的电流通过a、d电路，则每个电阻两端的电压分别是多少？a、d之间的总电压是多少？
提示：U1＝IR1＝8 V
U2＝IR2＝4 V
U3＝U4＝IR34＝2 V
Uad＝U1＋U2＋U3＝14 V。
解决简单混联电路的方法
(1)准确地判断出电路的连接方式，画出等效电路图。
(2)准确地利用串、并联电路的基本规律、特点。
(3)灵活地选用恰当的物理公式进行计算。　　
[题点全练清]
1.如图所示，R1＝2 Ω，R2＝10 Ω，R3＝10 Ω，A、B两端接在电压恒定的电源上，则(　 )
A．S断开时，R1与R2的电压之比为5∶1
B．S闭合时，R1与R2两端的电压之比为2∶5
C．S闭合时，通过R2与R3的电流之比为2∶1
D．S闭合时，通过R1与R2的电流之比为1∶5
解析：选B　S断开时，R1与R2串联在电路中，电压之比＝＝，A错误；S闭合时，R2与R3并联，然后再与R1串联，因此通过R2与R3的电流之比＝＝，由于流过R1的电流等于流过R2与R3电流之和，即I1′＝I2′＋I3′，因此I1′∶I2′＝2∶1，C、D错误；S闭合时，R2与R3并联之后的总电阻为R23，根据＋＝，解得R23＝5 Ω，因此加在R1与R2两端的电压之比＝＝，B正确。
2．(2023·海南高考)如图所示电路，已知电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C，闭合开关K，待电路稳定后，电容器上的电荷量为(　 )
A．CE　　　　　　　　　 B.CE
C.CE D.CE
解析：选C　电路稳定后，由于电源内阻不计，则整个回路可看成3R、2R的串联部分与R、4R的串联部分并联，若取电源负极为零电势点，则电容器上极板的电势为φ上＝·2R＝，电容器下极板的电势为φ下＝·4R＝，则电容器两端的电压U下上＝φ下－φ上＝，则电容器上的电荷量为Q＝CU下上＝CE。
强化点(二)　电压表与电流表的改装
[典例]　有一电流表G，内阻Rg＝100 Ω，满偏电流Ig＝1 mA。
(1)若要将它改装成量程为0.6 A的电流表，需要并联一个多大的电阻？
(2)若将其改装成如图所示的双量程电压表，则分压电阻R1和R2的阻值各为多大？
[解析]　(1)设并联电阻的阻值为R，则有
IgRg＝(I－Ig)R，
解得R＝＝ Ω≈0.167 Ω。
(2)已知电压表量程分别为U1＝3 V，U2＝15 V；Rg＝100 Ω，Ig＝1 mA＝1×10－3 A。
当电压表使用O、A接线柱时，根据欧姆定律
Ig＝
即R1＝－Rg＝Ω＝2.9×103 Ω
当电压表使用O、B接线柱时，根据欧姆定律
Ig＝
即R2＝－Rg－R1＝Ω
＝1.2×104 Ω。
[答案]　(1)0.167 Ω　(2)2.9×103 Ω　1.2×104 Ω
[要点释解明]
1．电压表、电流表的改装及其特点
项目 小量程电流表G改装 成大量程电压表V 小量程电流表G改装 成大量程电流表A
电路结构
R的作用 分压 分流
扩大量程 的计算 U＝Ig(R＋Rg) R＝－Rg IgRg＝(I－Ig)R R＝Rg
电表的 总内阻 RV＝Rg＋R RA＝
使用 并联在被测电路中，“＋”接线柱接电势较高的一端 串联在被测支路中，电流从“＋”接线柱流入
2.电表改装问题的两点提醒
(1)无论表头G改装成电压表还是电流表，它的三个特征量Ug、Ig、Rg是不变的，即通过表头的最大电流Ig并不改变。
(2)改装后电压表的量程指小量程电流表表头满偏时对应的R与表头串联电路的总电压；改装后电流表的量程指小量程电流表表头满偏时对应的R与表头并联电路的总电流。
[题点全练清]
1．一个电流表的满偏电流Ig＝1 mA，内阻为500 Ω，要把它改装成一个量程为0～10 V的电压表，则应在电流表上(　 )
A．串联一个10 kΩ的电阻
B．并联一个10 kΩ的电阻
C．串联一个9.5 kΩ的电阻
D．并联一个9.5 kΩ的电阻
解析：选C　把一个电流表改装成一个电压表，要串联一个电阻，可知B、D错误。通过电流表的电流为Ig时，电流表两端的电压Ug＝IgRg＝1×10－3×500 V＝0.5 V，串联电阻分担的电压UR＝U－Ug＝10 V－0.5 V＝9.5 V，所以串联电阻的阻值R＝＝＝9.5 kΩ，C正确，A错误。
2．有一电流表G，内阻Rg＝10 Ω，满偏电流Ig＝3 mA。
(1)要把它改装成量程为0～3 V的电压表，应串联一个多大的电阻？改装后电压表的内阻是多大？
(2)要把它改装成量程为0～0.6 A的电流表，需要并联一个多大的电阻？改装后电流表的内阻是多大？
解析：(1)由题意知电流表G的满偏电压
Ug＝IgRg＝0.03 V
改装成量程为0～3 V的电压表，当达到满偏时，
分压电阻R两端的电压
UR＝U－Ug＝2.97 V
所以分压电阻R＝＝ Ω＝990 Ω
改装后电压表的内阻RV＝Rg＋R＝1 000 Ω。
(2)改装成量程为0～0.6 A的电流表，当达到满偏时，通过分流电阻R′的电流IR′＝I－Ig＝0.597 A
所以分流电阻R′＝≈0.05 Ω
改装后电流表的内阻RA＝≈0.05 Ω。
答案：(1)990 Ω　1 000 Ω　(2)0.05 Ω　0.05 Ω
A级——学考达标
1．(2023·济南学考检测)两个灯串联在电路中，其中一只灯亮，另一只灯比较暗，则通过两者的电流(　 )
A．亮的电流大　　　　 B．暗的电流大
C．两者电流相等 D．无法比较
解析：选C　由于两个灯串联在电路中，则通过两者的电流相等，A、B、D错误，C正确。
2．(多选)下列叙述正确的有(　 )
A．并联电路中各支路电阻两端的电压不相等
B．用同一表头改装成的电压表，电压表的量程越大，其内阻越大
C．并联电路的总电阻一定大于每一个支路的电阻
D．串联电路任一电阻增大(其他电阻不变)，总电阻一定增大
解析：选BD　由并联电路的特点知，并联电路的总电阻比任一支路的阻值都要小，且各支路电阻两端的电压相等，所以A、C错误；用同一表头改装成的电压表，电压表的量程越大，其内阻越大，故B正确；串联电路任一电阻增大(其他电阻不变)，总电阻一定增大，故D正确。
3．创建交通安全文明城市，遵守交通法规从我做起。根据你对斑马线旁边红、绿信号灯的了解，下列选项图中符合实际的电路图是(　 )
解析：选C　对A项中的图分析，当开关S2闭合时会造成电源短路且两灯泡不发光，当只有S1闭合时红、绿交通信号灯同时发光，故A不符合实际；对B项中的图分析，两开关均闭合时红、绿交通信号灯同时发光，否则均不发光，故B不符合实际；对C项中的图分析，只闭合开关S1时红灯亮，只闭合开关S2时绿灯亮，两灯并联，符合实际情况，故C正确；对D项中的图分析，只有开关S2闭合时，两灯均亮，而当只闭合开关S1时，绿灯发光，故D不符合实际。
4.如图所示电路中电阻R1、R2、R3的阻值相等，A、B两端的电压恒定。那么开关S接通后流过R2的电流是S接通前的(　 )
A.　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　设A、B间的电压为U，每个电阻的阻值为R。S接通前，通过R2的电流I＝＝。S接通后，通过R2的电流I′＝×＝×＝，＝，B项正确。
5．磁电式电流表(表头)最基本的组成部分是磁铁和放在磁铁两极之间的线圈，由于线圈的导线很细，允许通过的电流很弱，所以在使用时还要扩大量程。已知某一表头G的内阻Rg＝30 Ω、满偏电流Ig＝5 mA，要将它改装为量程为0～3 A的电流表，所做的操作是(　 )
A．串联一个570 Ω的电阻
B．并联一个570 Ω的电阻
C．串联一个0.05 Ω的电阻
D．并联一个0.05 Ω的电阻
解析：选D　将表头G改装成量程为0～3 A的电流表要并联一个电阻，要并联的电阻阻值为R并＝＝ Ω≈0.05 Ω，故选D。
6．如图所示的甲、乙两个电路，都是由一个灵敏电流计G和一个变阻器R组成，它们中一个是测电压的电压表，另一个是测电流的电流表，那么以下结论中正确的是(　 )
A．甲表是电流表，R增大时量程增大
B．甲表是电流表，R增大时量程减小
C．乙表是电压表，R增大时量程减小
D．上述说法都不对
解析：选B　电压表中的串联电阻起分压作用；电流表中的并联电阻起分流作用，所以甲表为电流表，乙表为电压表。并联电路电阻大时分流少，所以电流表中的R增大时量程减小；串联电路电阻大时分压多，所以电压表中的R增大时量程增大，故B正确。
7.如图所示电路，电压U保持不变，当开关S断开时，电流表的示数为0.6 A，当S闭合时，电流表的示数为0.9 A，则两电阻阻值之比R1∶R2为(　 )
A．1∶2 B．2∶1
C．2∶3 D．3∶2
解析：选A　当开关S断开时，0.6 A＝；当S闭合时，0.9 A＝，解得＝，故选A。
8.(多选)如图所示，图线1表示的导体的电阻为R1，图线2表示的导体的电阻为R2，则下列说法正确的是(　 )
A．R1∶R2＝1∶3
B．R1∶R2＝3∶1
C．将R1与R2串联后接于电源上，则电流比I1∶I2＝1∶3
D．将R1与R2并联后接于电源上，则电流比I1∶I2＝3∶1
解析：选AD　I U图像斜率表示电阻的倒数，由图像可知图线1和图线2斜率之比为3∶1，所以R1∶R2＝1∶3，A正确，B错误； 将R1与R2串联后接于电源上，则电流比I1∶I2＝1∶1，C错误；根据欧姆定律I＝，将R1与R2并联后接于电源上，则电流比＝＝，D正确。
9.(多选)如图所示的电路中，通过R1的电流是3 A，已知R1＝4 Ω，R2＝15 Ω，R3＝10 Ω，则(　 )
A．电路的总电阻是6 Ω
B．通过R2的电流是1.2 A
C．ab两端的电压是12 V
D．ac两端的电压是18 V
解析：选BC　电路的总电阻是R＝R1＋＝4 Ω＋ Ω＝10 Ω，A错误；通过R2的电流是IR2＝I×＝ A＝1.2 A，B正确；ab两端的电压是Uab＝IR1＝12 V，C正确；ac两端的电压是Uac＝IR＝30 V，D错误。
10．(2023·云南富源期末)在如图所示的电路中，三个电阻的阻值分别为R1＝2 Ω，R2＝3 Ω，R3＝4 Ω，电源电压恒定。
(1)接通开关S，断开开关S′时，R1与R2两端电压之比为多少？
(2)两个开关S、S′都接通时，R1与R2两端电压之比为多少？
解析：(1)接通开关S，断开开关S′时，电阻R1与R2串联，由串联电路的规律知，U1∶U2＝R1∶R2＝2∶3。
(2)两个开关都接通时，R2与R3并联，并联电阻R23＝＝ Ω，R1与R23串联，由串联电路的规律知，U1′∶U2′＝R1∶R23＝7∶6。
答案：(1)2∶3　(2)7∶6
B级——选考进阶
11.如图所示的电路中，R1＝5 Ω，R2＝10 Ω，滑动变阻器R3的最大阻值为10 Ω，则A、B两端的总电阻的最大值与最小值的和是(　 )
A．5 Ω B．10 Ω
C．15 Ω D．20 Ω
解析：选C　当滑动变阻器R3＝10 Ω时，A、B两端的总电阻最大，为Rmax＝R1＋＝5 Ω＋ Ω＝10 Ω，当滑动变阻器R3的接入电路的电阻为0时，A、B两端的总电阻最小，为Rmin＝R1＝5 Ω，A、B两端的总电阻的最大值与最小值的和是15 Ω，C正确，A、B、D错误。
12.(2023·宣城中学期末)四个相同的电流表分别改装成两个电流表A1、A2和两个电压表V1、V2，A1的量程小于A2，V1的量程小于V2，把它们接入如图所示的电路，闭合开关后(　 )
A．A1的读数和A2的读数相同
B．V1的读数和V2的读数相同
C．A1指针偏转角度和A2指针偏转角相同
D．V1指针偏转角度比V2指针偏转角度大
解析：选C　设改装前四个电流表的满偏电流为Ig，内阻为Rg。改装成电流表时需要并联电阻R，其量程为I＝＋Ig，由上式可知电流表量程越小R越大，所以A1的内阻大于A2的内阻。根据并联分流规律可知通过A1的电流小于通过A2的电流，所以A1的读数小于A2的读数，又因为原始表头为并联关系，所以表头两端电压相等，通过两表头的电流相等，即A1指针偏转角度和A2指针偏转角度相同，A错误，C正确；改装成电压表时需要串联电阻R，其量程为U＝Ig(R＋Rg)，由上式可知电压表量程越小R越小，所以V1的内阻小于V2的内阻，根据串联分压规律可知V1两端电压小于V2两端电压，所以V1的读数小于V2的读数，又因为原始表头为串联关系，所以通过两表头的电流相等，即V1指针偏转角度和V2指针偏转角度相同，B、D错误。
13．如图所示是有两个量程的电压表，当使用a、b两个端点时，量程为0～10 V，当使用a、c两个端点时，量程为0～100 V。已知电流表的内阻Rg＝500 Ω，满偏电流Ig为1 mA，求电阻R1、R2的值。
解析：当使用a、b两个端点时，接10 V电压，电流表满偏，即电流为满偏电流。
根据串联电路规律，Ig(Rg＋R1)＝10 V
解得R1＝9.5×103 Ω
同理，当使用a、c两端点时，接100 V电压时，电流表满偏，Ig(Rg＋R1＋R2)＝100 V
解得R2＝9×104 Ω。
答案：9.5×103 Ω　9×104 Ω
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