1.4一元二次函数与一元二次不等式 练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.4一元二次函数与一元二次不等式 练习
一、单选题
1．设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知函数，若，则的图象可能是（　　）
A． B．C． D．
3．已知，是关于的方程的两个实根，那么的最大值是（ ）
A．19 B．17 C． D．18
4．一元二次不等式则对一切实数 都成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．对任意的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知关于的不等式恰有5个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．当时，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于的一元二次不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，若，，当取得最大值时，的值可能为（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．对任意的，
C．若对任意实数x，，则实数a的取值范围是
D．若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是
11．下列命题正确的是（ ）
A．是关于的方程有一正一负根的充要条件
B．若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是
C．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．正实数 满足 ，当 取得最大值时， 的最大值为 .
13．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
14．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数.
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”；
(2)若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围;
(3)已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值.
16．已知函数的最小值不小于，且.
(1)求函数的解析式；
(2)函数在的最小值为实数的函数，若关于的方程无解，试确定实数的取值范围.
17．已知函数.
(1)若，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若时，解关于的不等式，.
18．已知函数.
(1)解关于的不等式；
(2)，，都有恒成立，求实数的取值范围.
19．已知二次函数.
(1)若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值；
(2)若对任意都有成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C A C C D AD BCD
题号 11
答案 ACD
1．C
【分析】由，求得时，函数解析式即可求解.
【详解】当时，，
所以，
所以当时，，最大值为：，
所以的最小值为1，
故选：C
2．D
【分析】判断出的符号后可得正确的选项.
【详解】因为，故即，
而，故，
BC中图象开口向下，不符合，而A中图象过原点，与矛盾，
故选：D.
3．D
【分析】结合韦达定理求得关于的表达式，结合判别式以及二次函数的性质即可求得的最大值，从而得解.
【详解】因为，是关于的方程的两个实根，
由韦达定理知，，
，
因为方程有两实根，
所以，解得，
因此当时，有最大值.
故选：D.
4．C
【分析】根据二次函数的性质及二次不等式的解法列式可得.
【详解】由一元二次不等式对一切实数x都成立，
则，解得.
满足一元二次不等式对一切实数x都成立的k的取值范围是.
故选：C.
5．A
【分析】将函数的解析式变形为，并构造函数，由题意得出，解此不等式组可得出实数的取值范围.
【详解】对任意，函数的值恒大于零，
设，即在上恒成立，
因为在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.
所以 ，解得或，
即的取值范围是.
故选：A
6．C
【分析】先求出方程的根，接着分类讨论求出、和三种情况下不等式的解集，再结合题意即可得解.
【详解】解方程得，
当时，不能等式解集为，
因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为，
所以，符合；
当时，不能等式解集为，不符合；
当时，不能等式解集为，
因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为，
所以，符合；
综上，满足题意的实数的取值范围是.
故选：C.
7．C
【分析】问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可；
【详解】当时，恒成立，等价于恒成立，
又，当且仅当即时取等号，
所以，
故选：C.
8．D
【分析】先根据关于的一元二次不等式的解集为，得到，且和5是一元二次方程的两根，由根与系数关系可得到，代入不等式化简后可解得．
【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以，且和5是一元二次方程的两根，所以解得
所以不等式可化为，即，
解得或，则不等式的解集是.
故选：D
9．AD
【分析】由，得到，再结合即可求解.
【详解】因为，，
所以，
故，当，，
即或，也即或时，等号成立，
故选：AD.
10．BCD
【分析】代入可判选项A，利用基本不等式可判选项B，利用二次函数恒成立可判选项C，利用不等式 能成立的条件可判选项D.
【详解】对于A，，所以选项A错误；
对于B，，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以选项B正确；
对于C，，
所以，
所以对任意实数x恒成立，
所以，所以，故选项C正确；
对于D，存在，使，所以，
因为在为单调增函数，
所以，所以，所以，所以选项D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【分析】对于A，由韦达定理即可判断，对于B，参变分离即可判断，对于C，由条件确定，即可求解，对于D，由，再结合基本不等式即可求解.
【详解】对于A，若的根一正一负，则，解得：；
反之，当时，，方程有一正一负根，也成立，
所以是关于x的方程，有一正一负根的充要条件，A对；
对于B，若关于的不等式在上恒成立，
则只需，即在上恒成立即可，
则实数k的取值范围是，故B错误；
对于C，若关于的不等式的解集是，则，
所以关于的不等式或，故C正确；
对于D，若，则，可得，等号成立当且仅当，
所以，等号成立当且仅当，故D正确，
故选：ACD
12．/2.25
【分析】由条件可得，可得，利用基本不等式可得,时，取到最大值，且，代入，运用二次函数的性质求出其最大值即可.
【详解】正实数满足，可得，，
由，当且仅当,时等号成立，
即时，取到最大值，且，
，
当时，取到最大值为.
.故答案为：.
13．
【分析】换元令，可得，分类讨论结合基本不等式求得，结合恒成立问题可得，运算求解即可.
【详解】因为，
令，则，
可得，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立；
若，则；
若，则；
综上所述：，当且仅当时，等号成立，
因为不等式对任意恒成立，
可得，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】对分和，进行分类讨论.
【详解】①当时，不等式为，不恒成立；
②当时，由二次函数的图象和性质知解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)最小值，最大值为；是
(2)
(3)8
【分析】（1）结合二次函数的图象即可求得；
（2）根据题意，讨论对称轴和区间的位置关系，，，，分别求得即可；
（3）根据题意，在对称轴取得最小值，讨论对称轴和区间的最大值，再根据和，分别求得.
【详解】（1）根据题意：，则，
因为，则当时，，
当时，，且，
即函数为上的“聚集函数”.
（2）
①若，则，，
根据题意：，无解；
②若，则，，
根据题意：，解得：；
③若，则，，
根据题意：，解得：；
④若，则，，
根据题意：，解得：无解；
综上：实数的取值范围为：.
（3）
因为，则，
①若，则由图象可得：，
，设，即求的最大值.
，
因为，则，，代入上式，得，则.
②若，则由图象可得：，
，设，即求的最大值.
，
因为，则，，代入上式，得，则.
综上：的最大值为，当且仅当时取等号，
即或时取等号.
因此的最大值为.
【点睛】含参数的二次函数在给定区间上求最值问题主要有三种类型：
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考虑对称轴和区间的关系，当含有参数时，要根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，当确定了对称轴和区间的关系，就明确了函数的单调性，从而确定了函数的最值.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题目所给的条件列出与有关的不等式组，然后确定的取值，进而求出函数的解析式；
（2）通过讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，求出函数的解析式，进而求出函数的值域. 要使得关于的方程无解，只需让实数的取值范围是函数值域的补集即可.
【详解】（1）函数最小值不小于，则，即.
又因为，所以，即，
综上所述，.
所以.
（2）因为的对称轴为，结合二次函数的性质可知，
当，即时，；
当，即时，；
当时，，
所以.
因为当时，，
当时，，
所以的值域为. 故要使得关于的方程无解，则必有.
17．(1)
(2)当时，解集为 ，
当时，解集为，
当时，解集为.
【分析】（1）分离参数，转化为求解即可；
（2）分，，三种情况，分解求出所对应一元二次不等式的解集即可.
【详解】（1）由已知得，
对，恒成立，即,
令, 则，当且仅当，即时取等号，
∴，
∴，
∴实数的取值范围为；
（2）由已知得，
即，
，
，
当时，即，不等式的解集为，
当时，即，不等式的解集为，
当时，即，不等式的解集为，
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为.
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）结合一元二次不等式解集的形式，分情况讨论一元二次不等式的解集.
（2）问题可转化为含参数的二次函数在给定区间上的值域问题求解.
【详解】（1），即，即，
所以当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
（2）因为对，，都有恒成立，所以，
当时，即时，，，
由，即，故；
当时，即时，，，
由，故，
当时，即时，，
，
由，故，
当时，即时，，
，
由，故.
综上可知：.
所以的取值范围为.
19．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用一元二次方程的韦达定理及判别式计算即可；
（2）分离参数利用换元法结合基本不等式计算即可；
（3）分类讨论方程根的情况结合二次函数根的分布计算即可.
【详解】（1）由题意得，即或，
因为，所以，
解得或4（舍去），所以.
（2）由题意得对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立，
令，则.
当且仅当即时等号成立，
所以即.
（3）当即时，经检验满足题意；
当即或时，
由得即，
经检验不合题意；
综上的取值范围为