3.3指数函数 练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.3指数函数 练习
一、单选题
1．已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．设函数，是奇函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．8
3．已知是定义在上的偶函数.且当时，，则等于（ ）
A．3 B．-3 C． D．
4．已知函数，且，，，，，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
5．若为奇函数，则实数（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
6．是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
8．若，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有的否定是“，使得
B．若，则
C．与表示同一函数
D．函数的定义域为，则函数的定义域为
10．已知实数，函数在上是单调函数，若的取值集合是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．恒成立
D．，使得是指数函数
11．已知函数，则（ ）
A．是上的减函数
B．的图象关于点对称
C．若是奇函数，则
D．不等式的解集为
三、填空题
12．已知，，且，，，请写出的一个解析式 .
13．函数的定义域是 .
14．已知，若对任意，不等式
恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求m的值;
(2)根据函数单调性的定义证明在上单调递增；
(3)若关于x的函数的图象与x轴有交点，求实数的取值范围.
16．已知函数（且）．
(1)求证：若，则；
(2)求的值．
17．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，是图象过点的指数函数，且．
(1)求，的解析式；
(2)用单调性的定义证明是上的增函数；
(3)设函数的最小值为．求的表达式，并求出的最大值．
18．已知函数（，且）.
(1)若函数的图象过和两点，求在上的值域；
(2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B B B C B AD ACD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】根据函数解析式可得，据此得出，再由“1”的技巧及基本不等式得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以由可得，即，
由，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D
2．A
【分析】由是奇函数，得，代入即可求.
【详解】因为是奇函数，
所以，
所以.
故选：A
3．A
【分析】根据偶函数性质得到.
【详解】是定义在上的偶函数，故.
故选：A
4．B
【分析】根据满足的条件，逐个代入排除判断即可.
【详解】因为，故排除CD，又，排除A，故，逐个条件代入满足.
故选：B
5．B
【分析】先由奇函数的性质得到，从而求得的值，再进行检验即可得解.
【详解】因为为奇函数，
所以，即，
解得，此时，其定义域为，
且，
即为奇函数，所以满足题意.
故选：B.
6．B
【分析】分段函数为增函数，保证每段都增，比较端点即可.
【详解】是上的单调递增函数，则满足
，解得.
故选：B.
7．C
【分析】根据分段函数解析式，当时，得恒成立，分离参数求最值即可；当时，根据和的大小关系分类讨论，再利用不等式的解集为，求解即可.
【详解】由题意，当时，恒成立，可得，所以；
当时，，即，
可得当时，的解集为；
当时，的解集为，不满足题意，舍去.
因为关于的不等式的解集为，
当时，，满足；
当时，，不满足.
综上所述，的取值范围是.
故选：C.
8．B
【分析】分析可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】若，则，则，，
且，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，当时，函数的最小值为.
故选：B.
9．AD
【分析】对于A，根据全称量词命题的否定判断即可；对于B，结合不等式的基本性质利用作差法判断即可；对于C，根据同一函数的定义判断即可；对于D，根据抽象函数的定义域求解判断即可.
【详解】对于A，命题“，都有的否定是“，使得，故A正确；
对于B，，
因为，所以，，
则，即，故B错误；
对于C，函数的定义域为，定义域为，
两个函数的定义域不同，则不表示同一函数，故C错误；
对于D，函数的定义域为，则，
解得，所以函数的定义域为，故D正确.
故选：AD.
10．ACD
【分析】根据分段函数的单调性，求出的取值集合，逐一判断各个选项.
【详解】根据题意，，所以函数是R上的增函数，
则，解得，
，故A正确，B错误；
对于C，，恒成立，故C正确；
对于D，当时，是指数函数，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【分析】利用函数单调性的定义可判断A选项；利用函数的对称性可判断BC选项；将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集，可判断D选项.
【详解】对于A选项，任取、，且，则，
则
，所以，，
所以，函数是上的减函数，A对；
对于B选项，因为函数的定义域为，
则，
所以，，
所以，函数的图象关于点对称，B错；
对于C选项，因为函数是奇函数，即函数的图象关于原点对称，
由B选项可知，函数的图象关于点对称，则，解得，C对；
对于D选项，由，可得，
因为函数是上的减函数，则，解得，
故不等式的解集为，D对.
故选：ACD.
12．（答案不唯一）
【分析】根据可考虑指数型函数，再设分析求解即可.
【详解】设，由可得，即，故，
又，故，则，.
故答案为：
13．
【分析】根据函数解析式，结合根号建立不等式，利用分式不等式以及指数函数单调性，可得答案.
【详解】要使有意义，则，，解得.
要使有意义，则，，由函数是增函数，得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．
【分析】由及题意，可得，然后由单调性及一次函数单调性可得答案.
【详解】由题可得，又注意到在上单调递增，
在上单调递增，，则在R上单调递增.
则
得，由，则.
则关于x的一次函数在上单调递增，
要使恒成立，则，
即，解得：.
结合，可得.
故答案为：.
15．(1)2
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意得，即可求解；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）有实根，由是定义在上的奇函数可得，由在上单调递增，可得，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）由题意得，即.
（2）由（1）知，
，且，
因为，函数在上单调递增，
所以，即，又，
所以，即，
所以在上单调递增.
（3）函数的图象与x轴有交点，
即有实根，
所以，又是定义在上的奇函数，
所以，
又由（2）知在上单调递增，
所以，
所以，
令，则，
所以，所以实数的取值范围为.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接根据函数的定义、的关系代入运算即可求解；
（2）利用（1）中结论配对运算即可求解.
【详解】（1）由，
得，
则
．
（2）原式
．
17．(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）利用奇偶性得到关系式，结合题干中的条件，解出函数的解析式；
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）求出函数的解析式，结合换元法及二次函数的性质，分类讨论求解最小值，得出，再根据分段函数求最大值.
【详解】（1）由题意，设，则，解得，
所以，
定义在R上的奇函数和偶函数，则，
∵①，
∴，即②，
联立①②解得: ，
（2）在上单调递增，证明如下:
设，且，
，
，，
，即，
在上是单调递增.
（3），
令，可知时单调递增，则，
，
令，
当，即时，在时单调递增，则；
当，即时，在时单调递减，在时单调递增，则；
当，即时，在时单调递减，则；
综上，
所以当时，，当时，，
当时，，
综上，的最大值为2.
18．(1)
(2)
【分析】（1）将点坐标代入解析式，列出方程组求出，再根据函数的单调性求出值域即可；
（2）根据函数单调性求出最大值和最小值，列出方程，求解的值即可.
【详解】（1）由题意，，，
又，解得，，所以，
因为在上单调递增，所以，
所以在上的值域为.
（2）当时，在区间上单调递减，
所以，，
因此，解得或（舍去），
当时，在区间上单调递增，
所以，，
因此，解得或（舍去），
所以或.