4.3.1等比数列的概念 第1课时 等比数列 同步练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1　等比数列的概念
第1课时　等比数列
A组
1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于(　　)
A.- B.-2 C.2 D.
2.若数列1,a,4,b2为等比数列,则a等于(　　)
A.-2 B.2 C.±2 D.±2
3.(多选题)已知数列{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是(　　)
A. B.log2
C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2}
4.在等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,则公比q等于(　　)
A.2 B.3 C. D.2
5.已知1, ,…为等比数列,当an=8时,n等于(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
6.已知等比数列{an}的各项都是正数,a5=1,a3a11=9,则{an}的公比q=　　　　　.
7.在等比数列{an}中,an>0,a1-a5=90,a2-a4=36,则公比q=　　　　　;a5与a7的等比中项是　　　　　.
8.若三个不相等的实数a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则a∶b∶c=　　　 　　.
9.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
10.在各项均为负数的数列{an}中,已知2an=3an+1,且a2·a5=.
(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式;
(2)试问:-是这个数列中的项吗 如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由.
B组
1.已知1,a,b,8是等比数列,则ab的值等于(　　)
A.1 B.4 C.8 D.16
2.在公差不为零的等差数列{an}中,若a2,a3,a6依次成等比数列,则其公比q等于(　　)
A. B. C.2 D.3
3.已知各项均为正数的等比数列{an},其任何项都是后面两项的和,则其公比是(　　)
A. B. C. D.
4.在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=31,a2+a3+a4+a5+a6=62,则{an}的通项公式为(　　)
A.an=2n-1 B.an=2n
C.an=2n+1 D.an=2n+2
5.在6和768之间插入6个数,使它们组成共8项的等比数列,则这个等比数列的第6项是　　　　　.
6.已知a>0,b>0,若a,2,b依次成等比数列,则a+4b的最小值为　　　　　.
7.若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=　　　　　.
8.在数列{an}中,a1=5,an+1=2an+3(n∈N*).
(1)证明数列{an+3}为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
9.已知三个互不相等的实数成等差数列,如果适当安排这三个数,又可以成等比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.
参考答案
A组
1.D
解析:∵{an}为等比数列,∴a5=a2·q3.
∴q3=,∴q=.
2.B
解析:根据题意,数列1,a,4,b2为等比数列,
则有解得a=2.
3.AD
解析:由数列{an}是等比数列,设公比为q.
在A中,一定是等比数列,故A符合题意;
在B中,假设an=2n,则log2=log222n=2n,不是等比数列,故B不符合题意;
在C中,an+an+1=an(1+q),当q=-1时,{an+an+1}不是等比数列,故C不符合题意;
在D中,an+an+1+an+2=an(1+q+q2),{an+an+1+an+2}是等比数列,故D符合题意.
4.A
解析:在等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,则=q3==8,∴q=2.
5.C
解析:设等比数列的公比为q,由题可知,a1=1,q=,则an=qn-1=()n-1=8=()7,故n-1=7,n=8.
6.
解析:由题意可知q>0,∵a5=1,a3a11=9,
∴a9==9=a5q4=q4,解得q=.
7.　3
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由题意可知,q>0且q≠1.
由已知得
又an>0,所以由可得,
即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.
若q=2,则a1=-6,不合题意,舍去,
若q=,则a1=96,故a5=96×=6,a7=a5q2=,a5与a7的等比中项为=3.
8.4∶1∶(-2)
解析:由题意得2b=a+c,①
c2=ab,②
由①得c=2b-a.③
将③代入②得a=b(舍去)或a=4b,
则c=2b-a=2b-4b=-2b.
a∶b∶c=4∶1∶(-2).
9.解:(1)由题意得a2=,a3=.
(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,
得2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,所以.
故{an}是首项为1,公比为的等比数列,
因此an=.
10.(1)证明:因为2an=3an+1,所以.
又a1≠0,故数列{an}是公比q=的等比数列.
因为a2·a5=,所以a1q·a1q4=,
即.
又因为数列各项均为负数,所以a1=-.
所以an=-=-.
(2)解:设an=-,由(1)得-=-,即.
所以4=n-2,即n=6.
因此-是这个数列的第6项.
B组
1.C
解析:∵1,a,b,8是等比数列,∴ab=8.
2.D
解析:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
∵a2,a3,a6依次成等比数列,
∴a3是a2与a6的等比中项,∴=a2·a6,
∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),即d2+2a1d=0.
又d≠0,∴d=-2a1.
∴a2=a1+d=-a1,a3=a1+2d=-3a1.
又a1≠0,∴q==3.
3.D
解析:设数列{an}的公比为q.
由已知得an=an+1+an+2,
即a1qn-1=a1qn+a1qn+1,
∴q2+q=1,解得q=.
∵q>0,∴q=.
4.A
解析:a1(1+q+q2+q3+q4)=31,①
a2(1+q+q2+q3+q4)=62,②
由①②可得q=2,代入①得a1=1,故an=2n-1.
5.192
解析:由条件得,768=6×q7,解得q=2.
故a6=6×25=192.
6.8
解析:已知a>0,b>0,若a,2,b依次成等比数列,则ab=4,则a+4b≥2=4=8,
当且仅当 a=4b=4时取等号,故a+4b的最小值为8.
7.(-2)n-1
解析:当n=1时,S1=a1+,解得a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+-=(an-an-1),∴an=-2an-1,即=-2,
∴{an}是以1为首项的等比数列,其公比为-2,
∴an=1×(-2)n-1,即an=(-2)n-1.
8.(1)证明:∵an+1=2an+3,∴an+1+3=2(an+3).
又a1=5,∴a1+3=8.
又an+3≠0,∴=2,
∴数列{an+3}是首项为8,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)知,an+3=8×2n-1=2n+2,
∴an=2n+2-3.
9.解:由题意,这三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d.
∵a-d+a+a+d=6,
∴a=2,即三个数分别为2-d,2,2+d.
①若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d),
解得d=6或d=0(舍去),此时三个数为-4,2,8.
②若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),
解得d=-6或d=0(舍去),此时三个数为8,2,-4.
③若2为等比中项,则有22=(2+d)(2-d),
解得d=0(舍去).
综上可知,这三个数是-4,2,8.