4.3.1等比数列的概念 第2课时 等比数列的性质及应用 同步练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1　等比数列的概念
第2课时　等比数列的性质及应用
A组
1.已知数列{an}为一个等比数列,首项为a1,公比为q,且数列{an}为递减数列,则有(　　)
A.|q|<1
B.a1>0,q<1
C.a1>0,q<1或a1<0,q<1
D.以上都不对
2.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(　　)
A.7 B.5 C.-5 D.-7
3.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a2a3=a4,若S3=31,则an=(　　)
A.2·5n B.2·5n-1 C.5n D.5n-1
4.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成(　　)
A.511个 B.512个 C.1 023个 D.1 024个
5.已知等比数列{an}是递减数列,前n项的积为Tn,若T13=4T9,则a8a15=(　　)
A.±2 B.±4 C.2 D.4
6.在等比数列{an}中,若a15=10,a45=90,则a30=　　　　　.
7.设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3=-,且a2,a4,a3成等差数列,则公比q= 　　　　,数列{an}的前4项的和为　　　　　.
8.在各项均为正数的等比数列{an}中,若log2(a2a3a5a7a8)=5,则a1a9=　　　　　.
9.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比.
10.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.
B组
1.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=6,则a1a2·…·a10等于(　　)
A.1 B.35 C.15 D.30
2.已知各项均不为0的数列{an}满足=anan+2(n∈N*),若a3=1,a7=4a3,则a4a5a6=(　　)
A.±8 B.-8 C.8 D.16
3.(多选题)设{an}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列,q是其公比,Kn是其前n项的积,且K5K8,则下列选项中成立的是(　　)
A.0B.a7=1
C.K9>K5
D.K6与K7均为Kn的最大值
4.已知数列{an}为各项都为正数的等比数列,且前n项和为Sn,a1=1,S3=7,若a1a2a3·…·an=433,则n=(　　)
A.10 B.11 C.12 D.13
5.已知-9,a1,a2,-1四个数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1五个数成等比数列,则b2(a2-a1)=　　　　.
6.设等比数列{an}的前n项之积为Tn(n∈N*),已知am-1am+1-2am=0,且T2m-1=128,则m=　　　　　.
7.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得aman=16,则的最小值为　　　　　.
8.某工厂三年的生产计划是从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同,三年的总产值为300万元.如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元,那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同,求原计划每年的产值.
9.已知数列{an}为等差数列,且公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:,…,,并恰为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求kn.
参考答案
A组
1.D
2.D
解析:设数列{an}的公比为q,
由
所以
所以所以a1+a10=-7.
3.D
解析:∵a2·a3=a4,
∴a1q·a1q2=a1q3,即=a1≠0,解得a1=1.
∵S3=a1+a2+a3=31,即1+q+q2=31,解得q=5,∴an=5n-1.
4.B
解析:因为每20分钟分裂一次,所以经过3小时要分裂9次,即29=512(个).
5.C
解析:∵T13=4T9,∴a1a2…a9a10a11a12a13=4a1a2…a9.
∴a10a11a12a13=4.
又a10·a13=a11·a12=a8·a15,
∴(a8·a15)2=4,∴a8a15=±2.
∵{an}为递减数列,∴q>0,∴a8a15=2.
6.30或-30
解析:由等比数列的性质,可知a15,a30,a45成等比数列,
故=a15·a45=10×90=900,a30=±30.
7.-
解析:在公比不为1的等比数列{an}中,由a1a2a3=-,得=-,∴a2=-.
∵a2,a4,a3成等差数列,∴2a4=a2+a3,即2a2q2=a2+a2q,
∴2q2-q-1=0,解得q=-.∴a1==1.
则数列{an}的前4项的和S4=1-.
8.4
解析:在各项均为正数的等比数列{an}中,
∵log2(a2a3a5a7a8)=log2=5log2a5=5,
∴a5=2,∴a1a9==4.
9.解:设该数列的公比为q.
由已知,得
化简得解得(q=1舍去).
故首项a1=1,公比q=3.
10.解:∵数列{an}为等比数列,∴a1a9=a3a7=64.
又a3+a7=20,
∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.
解方程,得t1=4,t2=16,
∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.
当a3=4时,a3+a7=a3+a3q4=20,
∴1+q4=5.∴q4=4.
∴a11=a3q8=4×42=64.
当a3=16时,a3+a7=a3(1+q4)=20,
∴1+q4=.∴q4=.
∴a11=a3q8=16×=1.
综上可知,a11的值为64或1.
B组
1.B
解析:由等比数列的性质,得a5a6=a4a7,
∵a5a6+a4a7=6,∴2a5a6=6,∴a5a6=3,
∴(a1a2·…·a10)2=(a5a6)10=310.
又等比数列{an}的各项均为正数,
∴a1a2·…·a10==35.
2.C
解析:∵数列{an}满足=anan+2(n∈N*),
∴{an}是等比数列,∴a3,a5,a7同号.
∵a3=1,a7=4a3,∴a5==2,
∴a4a5a6==8.
3.ABD
解析:根据题意,{an}的各项均为正数,
由K51,a7=1,
则q=∈(0,1),故A正确,B正确;
又K5=,K9=K6·a7·a8·a9=K6··q3,
故>1,则有K9故C错误;
由以上可知,D正确.
4.C
解析:由数列{an}为各项都为正数的等比数列,a1=1,
得S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=7,
化简得q2+q-6=0,
解得q=2或q=-3(不合题意,舍去);
又a1a2a3·…·an=433,
所以1×2×22×23×…×2n-1==266,即=66.
化简得n2-n-132=0,解得n=12或n=-11,
所以n=12.
5.-8
解析:∵-9,a1,a2,-1四个数成等差数列,
∴-1=-9+3(a2-a1),解得a2-a1=.
∵-9,b1,b2,b3,-1五个数成等比数列,
∴=(-9)×(-1),且b2<0,解得b2=-3.
∴b2(a2-a1)=-3×=-8.
6.4
解析:∵{an}为等比数列,∴am-1am+1=,
∴am-1am+1-2am=-2am=0,得am=0(舍)或am=2.
又T2m-1==22m-1=128=27,
∴2m-1=7,得m=4.
7.
解析:设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,易知q≠1,
由+2a5,得到a6q=a6+2,解得q=-1或q=2.
因为{an}是各项均为正数的等比数列,所以q>0,因此q=-1不合题意,所以q=2.
因为aman=16,所以a1·2m-1·a1·2n-1=16,
所以2m+n-2=24,即m+n=6.又m>0,n>0,
所以+2+1=,
当且仅当,即m=,n=时,等号成立.
因为m,n为正整数,所以等号不成立.所以.验证可得,当m=2,n=4时,取得最小值,且最小值为.
8.解:由题意得,原计划三年中每年的产值组成等差数列,
设为a-d,a,a+d(d>0),
则有(a-d)+a+(a+d)=300,解得a=100.
又由题意知(a-d)+10,a+10,(a+d)+11组成等比数列,
即(a+10)2=[(a-d)+10][(a+d)+11].
将a=100代入上式,得1102=(110-d)(111+d),
即d2+d-110=0.
解得d=10或d=-11(舍去).
原计划三年的产值分别为90万元,100万元,110万元.
9.解:由题设有,即=a1a17,
∴(a1+4d)2=a1(a1+16d).
∴a1=2d或d=0(舍去).∴a5=a1+4d=6d,
∴等比数列的公比q==3.
∵是等差数列的第kn项,又是等比数列的第n项,
∴=a1+(kn-1)d=qn-1,∴kn=2·3n-1-1.