4.3对数函数 练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.3对数函数 练习
一、单选题
1．设函数，若是奇函数，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知函数，，且，则函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．3 B．2 C．2 D．3
4．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．若实数，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．以下关于函数性质的描述，正确的是：（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．若，则的反函数为
C．函数的值域为
D．函数在上单调递减
10．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．对于任意的，表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．，
D．对于任意的，，不等式恒成立
三、填空题
12．函数，其中是常数，若在有意义，则的取值范围是 .
13．已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ．
14．已知函数的表达式为，则函数的值域为 .
四、解答题
15．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，，求函数的值域.
16．设，已知，.
(1)求证：函数不是偶函数；
(2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围.
17．已知函数.
(1)当，时，求函数的值域；
(2)当时，若方程有两个不相等的实根，，且.
①求t的取值范围；
②证明：.
18．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求和的解析式，并判断在区间上的单调性（需要证明）；
(2)若对，都有，求实数m的取值集合．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B C A C A BCD ABD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】根据函数解析式及奇函数的性质得解.
【详解】因为，
所以，
又因为是奇函数，所以，
即，所以，
故选：D
2．C
【分析】由题意可先得到和，再代入得到，由选项解析式代入化简，得到结论.
【详解】由题意得：，
∵，∴，
∴，
若，则，舍去；
若，则，舍去；
若，则，成立；
若，则，舍去.
故选：C.
3．B
【分析】利用函数的奇偶性求解.
【详解】根据题意，是定义在上的奇函数，
当时，，
则.
故选：B
4．B
【分析】根据题意分别求出，从而可求解
【详解】由题意可得，故B正确.
故选:B.
5．C
【分析】解不等式化简集合A，求出函数定义域化简集合B，再利用交集的定义求解即得.
【详解】由，得，则，
由对数函数的定义域得，
所以.
故选：C
6．A
【分析】通过换底公式得，再结合单调性可以判断b，c的大小，再以“1”作为中间量，可以判断a，b的大小，从而得解.
【详解】设，，则，当且仅当时等号成立，则，
又，，所以
因为，所以，
综上，a，b，c的大小关系是
故选：A
7．C
【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D.
【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确；
因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确；
当时，，故C不正确；
因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确.
故选：C.
8．A
【分析】由定义域可得定义域，后结合对数函数性质可得答案.
【详解】因的定义域是，则定义域为.
则定义域满足.
故选：A
9．BCD
【分析】求出的定义域可判断A；求出的反函数可判断B；求出函数的值域可判断C；求出函数在上单调性可判断D.
【详解】对于A，若的定义域为，则由得，或，
所以的定义域为，故A错误；
对于B，若，则的反函数为，故B正确；
对于C，因为，所以，所以函数的值域为，故C正确；
对于D，函数在上单调递减，故D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】首先根据选项中图象的对称性得出，选项A和B关于原点对称，为奇函数，求出，即可判断；选项C和D关于轴对称，为偶函数，求出，根据值域即可判断．
【详解】A，B选项中，图象关于原点对称，
若为奇函数，则，即，
解得，
当时，，
当，且单调递增，
所以当时，且单调递减，的图象为选项A；
当时，，
当，且单调递增，所以且单调递增，
所以的图象为选项B；
而C，D选项中，图象关于y轴对称，
所以若为偶函数，则，即，
所以；
当时，，，即，
故的图象为选项D，不可能为选项C，
故选：ABD．
11．ACD
【分析】对于A，求的取值范围，根据取整函数的定义分析判断；对于B，先解一元二次不等式，再利用取整函数定义求解；对于C，求的取值范围，根据取整函数的定义判断求解；对于D，根据取整函数的定义结合不等式的性质分析判断.
【详解】对于A，，由，有，则，
得，所以，A选项正确；
对于B，不等式，解得，即，得，B选项错误；
对于C，时，当，，，
当，，，
当，，，
，故C选项正确；
对于D，对于任意的，，，，
不等式，故D选项正确.
故选：ACD.
12．
【分析】将原问题等价于，恒成立，利用分离参数求最值，即可求出的取值范围.
【详解】依题意，问题等价于时，恒成立，
因为恒成立，所以等价于恒成立，
即时，恒成立.
记，
又在为增函数，
所以，
则.
故答案为：.
13．
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
则取值的范围为.
故答案为：.
14．
【分析】根据幂函数和对数函数的单调性即可得到函数值域.
【详解】当，，此时单调递增，则，
当，，此时单调递增，则，
综上，函数的值域为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数可得，利用奇函数的定义可求时的表达式，从而得到的解析式.
（2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题，结合对称轴和函数单调性即可得到结果.
【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，∴.
∵时，，
∴当时，，
∴.
（2）由题意得，.
令，问题等价于求，的值域
∵函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∵，，，
∴，，
∴函数的值域为.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明；
（2）分别得到和在的单调性，将问题转化为即可求解；
（3）将问题转化为或，结合单调性即可求解.
【详解】（1）由题可得，
因为，
所以函数为奇函数，不是偶函数；
（2）对任意的、，不妨设，
所以，
因为，所以，，，
所以，，
所以在上单调递增，
则，，
所以，
由于在上单调递增，
所以，
要使对任意的、，总存在，使得成立，
则，即，
所以实数的取值范围是；
（3）对任意的，，总有成立，
所以或，
则或，
由（2）可得当，，，
，，
所以或，解得或，
故实数的取值范围是.
17．(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）利用换元法可求值域；
（2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案；②根据①得到，，且满足，即，计算出，又，代入后计算可得结论.
【详解】（1）当，时，，令，则，
则，即，故函数的值域为；
（2）当时，，
①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，
，
即，设，即与有两个不同的交点，
其中当时，单调递减，
当时，单调递增，其中，
当时，，结合图像可知；

②由①可知，所以，，
且满足，，即.
又，
所以
，
因为，所以，，
故.即证出
【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
18．(1)；；证明见解析.
(2)
【分析】（1）由即可求得函数的解析式，再由函数是上的偶函数，即可得到其解析式，再由函数单调性的定义法即可证明的单调性；
（2）根据题意，由偶函数的性质可得，再由函数的奇偶性以及单调性可得，由对数函数的单调性即可求解不等式.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，
所以，且满足，即；
设，则，即，
又是定义在上的偶函数，则，
所以；
在区间上单调递减.
证明：任取，且，
则
，
由可得，，，，
所以，即，
所以在区间上单调递减.
（2）因为是定义在上的偶函数，
且当时，，其对称轴为，
所以当时，单调递增，
对，都有，即，
由（1）可知，是定义在上的奇函数，
且时，单调递减，
所以，
所以，即或，
当时，即，解得；
当时，即，解得；
综上所述，实数m的取值集合为.