第四章 对数运算与对数函数 单元练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第4章 对数运算与对数函数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
2．若，则有（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知三个数，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．若 log2a<0，()b>1，则（ ）
A．a>1，b>0 B．a>1，b<0 C．00 D．0二、多选题
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的定义域为
B．若，则不等式的解集为
C．若函数的值域为，则实数a的取值范围是
D．若函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是
8．下列函数中与函数是同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．若，则 ．
10．已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，若，则 .
11．函数的单调减区间为 ．
12．三个数，，的大小关系是
四、解答题
13．已知函数且.
(1)判断并证明f（x）的奇偶性；
(2)求满足f（x）的实数的取值范围.
14．已知，，若，求．
15．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的值域.
16．化简求值：
(1)；
(2).
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D C D AB BD
1．C
【分析】根据根式、指数、对数运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：C
2．B
【分析】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【详解】，所以，
，
又因为，
所以，即.
故选：B.
3．A
【分析】利用对数的运算法则及对数函数的性质计算即可.
【详解】易知，
而，所以，
即.
故选：A
4．D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】解：因为，
所以，
故选：D
5．C
【分析】根据题意结合指、对数函数单调性，借助于中间值分析判断.
【详解】因为在定义域内单调递增，则，所以；
因为在定义域内单调递增，则，所以；
因为在定义域内单调递减，则，所以；
综上所述：.
故选：C.
6．D
【分析】根据指数与对数性质化简不等式，即可选择.
【详解】因为log2a<0，所以0因为()b>1，所以b<0
故选:D
【点睛】本题考查指数函数与对数函数单调性，考查基本分析化简能力，属基础题.
7．AB
【分析】由，求得函数的定义域，可判定A正确；由，结合对数的运算，求得的解集，可判定B正确；令，结合题意，列出不等式（组），可判定C错误；结合复合函数的单调性的判定方法，可判定D不正确.
【详解】对于A中，若，可得，则满足，
即，解得，所以函数的定义域为，所以A正确；
对于B中，若，可得，
由不等式，可得，解得，
所以不等式的解集为，所以B正确；
对于C中，若函数的值域为，令，且
只需是值域的子集，则时满足，
时开口向上且存在零点，满足，
所以实数的取值范围为，所以C错误；
对于D中，函数在区间上为增函数，
当时，，此时函数在区间上为增函数，
所以D不正确.
故选：AB.
8．BD
【分析】根据同一函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义为，因为函数的定义域为，
所以两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；
对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数；
对于D中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数.
故选：BD.
9．3
【分析】可根据已知条件，将对数化成指数关系，然后对等，找到a、b之间等量关系，带入到a、b、c三者关系中，找到b、c的关系，即可完成求解.
【详解】因为，所以，，
此时，化简得，
所以，，
所以3.
故答案为：3.
10．
【分析】由已知的奇偶性，确定函数的周期性，周期为4，由已知奇函数求得，再得，从而又可得，利用可求得得函数解析式，然后由周期性、对数的运算法则计算函数值．
【详解】因为为奇函数，所以，
又为偶函数，所以，所以，即，
所以，故是以4为周期的周期函数.
由，令，得.所以，
又，所以，所以，，解得，a＝12，
所以.
故答案为：．
11．
【分析】利用对数型复合函数的单调性即可求解.
【详解】由，得．又函数为减函数，
∴函数的单调减区间为．
故答案为：
12．
【详解】试题分析：因为，，，
所以．
考点：指数函数的单调性；对数函数的单调性．
点评：本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质．比较数的大小，我们通常引入中间量：0和1.
13．(1)证明见解析
(2)当时x的取值范围是；当时x的取值范围是．
【分析】（1）根据题意，先求出函数的定义域，进而结合函数的解析式可得，即可得结论；
（2）根据题意，即，分 与 两种情况讨论可得的取值范围，综合即可得答案．
【详解】（1）根据题意，，
则有，解可得，
则函数的定义域为，
又由，
则是奇函数；
（2）由得
①当时，，解得；
②当时，，解得；
当时x的取值范围是；
当时x的取值范围是．
14．
【分析】研究函数的奇偶性，利用奇偶性求解即可.
【详解】方法1：，
.
方法2：，.
15．(1)函数在上是减函数；在上是单调递增函数；
(2)函数的值域为
【分析】(1)根据定义域得到，化简得到，根据函数
的单调性得到函数的单调区间.
(2)先计算，计算得到值域.
【详解】(1) ，定义域满足 解得
考虑函数，函数在是单调递减，在上单调递增.
故在是单调递减，在上单调递增.
(2)根据（1），故的值域为
【点睛】本题考查了函数的单调性和值域，意在考查学生对于复合函数的性质和方法的应用.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据根式和指数幂直接计算得到答案.
（2）利用对数的运算法则计算得到答案.
【详解】（1）
.
（2）
.