黑龙江省绥化市哈尔滨2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省绥化市哈尔滨2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 471.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-22 16:15:27 | ||
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文档简介
2024-2025学年度高二期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.直线的斜率为
A.2 B. C. D.
2.抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
3.若圆：过坐标原点，则实数的值为
A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.-1
4.已知双曲线，则
A.双曲线C的焦距为 B.双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍
C.双曲线与双曲线C的渐近线相同 D.直线与双曲线C有公共点
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于
A.0 B.1 C.2 D.
6.已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为
A. B. C.8 D.
7.已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
8.已知双曲线(a>0，b>0)的左 右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)，点P在双曲线的右支上，且满足，则该双曲线离心率的取值范围是
A.(2，+∞) B. C. D.(1，2)
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列四个命题中真命题有
A.直线在轴上的截距为；
B.经过定点的直线都可以用方程表示；
C.直线必过定点(2，－4)；
D.已知直线与直线平行，则平行线间的距离是；
10.如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是
A.存在点，使得
B.存在点，使得
C.对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D.对于任意点，都不是锐角三角形
11.椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是
A.椭圆的标准方程为
B.若点在椭圆上，则的最大值为
C.若点在椭圆上，的最大值为
D.过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆上的点到直线的最大距离是 .
13.已知椭圆()的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 .
14.如图，两个正方形，的边长都是8，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的四等分点，N为对角线DF的中点，则线段 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15.(13分)已知的三个顶点，，，求：
(1)边上的高所在直线的方程；
(2)的垂直平分线所在直线的方程.
16.(15分)已知圆
(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程.
17.(15分)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积.
18.(17分)如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)若，点在棱上，且二面角的大小为.
①求证：；
②设是直线CD中点，求直线与平面所成角的正弦值.
19.(17分)我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左 右顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.
(i)试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(ii)求的取值范围.
数学试卷答案
1——8 BDCC AABB
9、CD 10、BCD 11、ACD
12、 13、 14、
15．（13分）解：（1）由斜率公式易知，直线的斜率．—————— 3分
又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：．—————— 6分
，．—————— 8分
又线段的中点为，—————— 10分
所在直线的方程为，—————— 12分
整理得所求的直线方程为：．—————— 13分
16．（15分）解：（1）由圆，可得原心，半径为，—————— 1分
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意；—————— 3分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，—————— 4分
由圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，—————— 5分
此时直线的方程为，—————— 6分
综上可得，所求直线的方程为或.—————— 7分
（2）解：由圆的半径为3，圆心在直线上，
设，且圆的圆心，半径为，—————— 9分
由两圆相外切，可得，即，—————— 11分
解得或，—————— 13分
所以或，—————— 14分
所以所求圆的方程为或.——————15分
17. （15分）解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，—————— 1分
由题意可得—————— 3分
解得—————— 5分
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.—————— 6分
直线OP的方程为y＝x，—————— 7分
设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．—————— 8分
将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，
由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，—————— 9分
所以x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－1.—————— 10分
由OA⊥OB，得·＝0，—————— 11分
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2
＝(m2－1)＋m·(－m)＋m2＝m2－＝0，得m2＝.—————— 12分
又|AB|＝＝·，—————— 13分
O到直线AB的距离d＝＝，—————— 14分
所以S△AOB＝·|AB|·d＝×××＝.—————— 15分
18.（17分）解：（1）在四棱锥中，因为底面为矩形，所以.
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，—————— 1分
因为平面，所以，—————— 2分
因为平面，且，—————— 3分
所以平面.—————— 4分
（2）①以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，所以，—————— 5分
因为点在棱上，所以设或显然不满足题设，—————— 6分
因为，所以，
所以，—————— 7分
设平面的一个法向量，
则，即，取，则，
所以，—————— 8分
是平面的一个法向量，—————— 9分
所以，
因为二面角的大小为，所以，
即，解得，—————— 10分
此时，，
，所以，—————— 11分
所以，即.—————— 12分
②因为是直线CD的中点，则—————— 13分
由①可得，所以，平面的一个法向量.—————— 14分
设直线与平面所成角为，则—————— 16分
即直线与平面所成角的正弦值为.—————— 17分
（17分）解：（1）由题意可设双曲线，—————— 1分
则，解得，——————3分
所以双曲线的方程为.—————— 4分
（2）（i）设，直线的方程为，—————— 5分
由，消元得.
则，且，—————— 6分
，—————— 8分
或由韦达定理可得，即,
，————— 9分
即与的比值为定值.—————— 10分
（ii）设直线，
代入双曲线方程并整理得，—————— 11分
由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.
由韦达定理得：，解得.—————— 12分
因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，
即，同理可得，—————— 13分
由（i）中结论可知，
得，所以，—————— 14分
故，—————— 15分
设，其图象对称轴为，
则在上单调递减，故，—————— 16分
故的取值范围为；—————— 17分
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.直线的斜率为
A.2 B. C. D.
2.抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
3.若圆：过坐标原点，则实数的值为
A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.-1
4.已知双曲线，则
A.双曲线C的焦距为 B.双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍
C.双曲线与双曲线C的渐近线相同 D.直线与双曲线C有公共点
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于
A.0 B.1 C.2 D.
6.已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为
A. B. C.8 D.
7.已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
8.已知双曲线(a>0，b>0)的左 右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)，点P在双曲线的右支上，且满足，则该双曲线离心率的取值范围是
A.(2，+∞) B. C. D.(1，2)
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列四个命题中真命题有
A.直线在轴上的截距为；
B.经过定点的直线都可以用方程表示；
C.直线必过定点(2，－4)；
D.已知直线与直线平行，则平行线间的距离是；
10.如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是
A.存在点，使得
B.存在点，使得
C.对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D.对于任意点，都不是锐角三角形
11.椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是
A.椭圆的标准方程为
B.若点在椭圆上，则的最大值为
C.若点在椭圆上，的最大值为
D.过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆上的点到直线的最大距离是 .
13.已知椭圆()的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 .
14.如图，两个正方形，的边长都是8，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的四等分点，N为对角线DF的中点，则线段 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15.(13分)已知的三个顶点，，，求：
(1)边上的高所在直线的方程；
(2)的垂直平分线所在直线的方程.
16.(15分)已知圆
(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程.
17.(15分)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积.
18.(17分)如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)若，点在棱上，且二面角的大小为.
①求证：；
②设是直线CD中点，求直线与平面所成角的正弦值.
19.(17分)我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左 右顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.
(i)试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(ii)求的取值范围.
数学试卷答案
1——8 BDCC AABB
9、CD 10、BCD 11、ACD
12、 13、 14、
15．（13分）解：（1）由斜率公式易知，直线的斜率．—————— 3分
又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：．—————— 6分
，．—————— 8分
又线段的中点为，—————— 10分
所在直线的方程为，—————— 12分
整理得所求的直线方程为：．—————— 13分
16．（15分）解：（1）由圆，可得原心，半径为，—————— 1分
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意；—————— 3分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，—————— 4分
由圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，—————— 5分
此时直线的方程为，—————— 6分
综上可得，所求直线的方程为或.—————— 7分
（2）解：由圆的半径为3，圆心在直线上，
设，且圆的圆心，半径为，—————— 9分
由两圆相外切，可得，即，—————— 11分
解得或，—————— 13分
所以或，—————— 14分
所以所求圆的方程为或.——————15分
17. （15分）解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，—————— 1分
由题意可得—————— 3分
解得—————— 5分
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.—————— 6分
直线OP的方程为y＝x，—————— 7分
设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．—————— 8分
将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，
由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，—————— 9分
所以x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－1.—————— 10分
由OA⊥OB，得·＝0，—————— 11分
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2
＝(m2－1)＋m·(－m)＋m2＝m2－＝0，得m2＝.—————— 12分
又|AB|＝＝·，—————— 13分
O到直线AB的距离d＝＝，—————— 14分
所以S△AOB＝·|AB|·d＝×××＝.—————— 15分
18.（17分）解：（1）在四棱锥中，因为底面为矩形，所以.
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，—————— 1分
因为平面，所以，—————— 2分
因为平面，且，—————— 3分
所以平面.—————— 4分
（2）①以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，所以，—————— 5分
因为点在棱上，所以设或显然不满足题设，—————— 6分
因为，所以，
所以，—————— 7分
设平面的一个法向量，
则，即，取，则，
所以，—————— 8分
是平面的一个法向量，—————— 9分
所以，
因为二面角的大小为，所以，
即，解得，—————— 10分
此时，，
，所以，—————— 11分
所以，即.—————— 12分
②因为是直线CD的中点，则—————— 13分
由①可得，所以，平面的一个法向量.—————— 14分
设直线与平面所成角为，则—————— 16分
即直线与平面所成角的正弦值为.—————— 17分
（17分）解：（1）由题意可设双曲线，—————— 1分
则，解得，——————3分
所以双曲线的方程为.—————— 4分
（2）（i）设，直线的方程为，—————— 5分
由，消元得.
则，且，—————— 6分
，—————— 8分
或由韦达定理可得，即,
，————— 9分
即与的比值为定值.—————— 10分
（ii）设直线，
代入双曲线方程并整理得，—————— 11分
由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.
由韦达定理得：，解得.—————— 12分
因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，
即，同理可得，—————— 13分
由（i）中结论可知，
得，所以，—————— 14分
故，—————— 15分
设，其图象对称轴为，
则在上单调递减，故，—————— 16分
故的取值范围为；—————— 17分