湖北省咸宁市崇阳县2024-2025学年高二上学期数学限时训练 (十五)（含解析）

崇阳高二数学限时训练 (十五)
如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路
不发生故障的概率是（ ）
A. B. C. D.
2. 小明同学在某次数学测试中的成绩是班级第十五名（每位同学测试的成绩两两不同），且小明同学的成绩恰好是该班成绩的第60百分位数，则该班的人数可能为（ ）
A.36 B.41 C.46 D.51
3. （多选）设是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则或 B.若，则或
C.若，则 D.若，则
4. （多选）有以下说法，其中错误的是（ ）
A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B.互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C.事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大
D.事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小
5. 在如图所示的四棱锥中，底面是梯形，且面，
为的中点.
（1）若，证明：平面；
（2）已知，斜线和平面所成角
的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值.
6.已知椭圆的焦点为和，短轴长为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆上 下顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不与
两点重合）.证明直线与直线交点的纵坐标为定值，并求出该值.
某校艺术团共有150人，男生与女生的比例是.为了解艺术团全体学生的身高，按性别比例进
行分层随机抽样，抽取样本量为30的样本，并观测样本身高数据（单位：）.已知男生样本
的身高平均数为169，标准差为.下表是抽取的女生样本的数据：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163
记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，标准差.
（1）用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺术团女生总体身高在范围内的人数；
（2）用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数和方差，求的值；
（3）若女生样本数据在之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.（其中，样本平均数，标准差.）
【参考数据：.】
崇阳高二数学限时训练 (十五) 答案
1.【答案】C
【解析】记正常工作为事件正常工作为事件，记正常工作为事件，则，电路不发生故障，即正常工作且至少有一个正常工作，不发生故障即至少有一个正常工作的概率，
所以整个电路不发生故障的概率为.
2.【答案】A
【解析】设班级的人数为，由题意，解得
3.【答案】AB
【解析】对于A，若，则或，故A正确；
对于B，若，则或，故B正确；
对于C，若，则平行或相交或异面，故C不正确；
对于D，若，当，则，故D不正确.
4.【答案】ACD
【解析】选项A错误，两个判断都是错误的.投一枚骰子，事件表示掷出的点数为2，事件B表
出的点数为3，则事件和互斥，但不是对立事件.互为对立的事件一定互斥.选项B正确；选项C错误，当两个事件和互斥时，事件和事件至少有一个发生的概率与和中恰有一个发生的概率相等，他们都等于；
选项D错误，考虑投掷一个骰子的试验，样本空间为，
记事件，事件，事件和同时发生的概率，
和恰好有一个发生的概率为.
5.【解析】（1）因为平面平面，
可知，
在中，为的中点，则，
因为，所以，所以，即，
又因为平面平面，所以平面.
（2）由题意可知：平面，
所以是斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角，
在中，，所以.
又因为，故两两垂直，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，
则，即，
可取
设平面的法向量为，
则，即，
可取；
从而可知，
所以平面和平面的夹角的余弦值为.
6.【答案】（1）（2）4.
【解析】（1）根据题意可得，，则，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为直线过点，且与椭圆的交点不与重合，
可知直线的斜率存在，
且直线与椭圆必相交，可设直线，
联立方程，消去可得，
由根与系数的关系可得：，
因为，可得直线，直线，
所以.
（另解：也可由代入得）即，解得，
所以直线的交点在直线上.
7.【答案】（1）20（2）（3）平均数为159，方差为.
【解析】（1）因女生样本中，身高在范围内的占比为，
故合唱团女生总体身高在范围内的人数估计为；
（2）记总样本的平均数为，标准差为，
由题意，男生样本（20人）的身高平均数为，方差为，
女生样本（10人）的身高平均数为，方差则
，
故；
（3）因，则，即，
约为，由样本数据知，，为离群值.
剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：；
由可得，，
则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：
.
【另解】由分层抽样方差公式可得.