山东省多校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 山东省多校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 790.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-22 16:18:35 | ||
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文档简介
山东省多校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知直线的倾斜角为，则
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
3.与向量同向的单位向量为
A. B. C. D.
4.已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5.若过点的直线与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为
A.4 B. C. D.
6.已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，过点且与长轴垂直的直线交于A，B两点.若为直角三角形，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
7.已知，若A，B，C，D四点共面，则
A.-3 B.2 C.4 D.5
8.已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则
A. B.2 C. D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知曲线，下列结论正确的有
A.若，则是椭圆 B.若，则是焦点在轴上的椭圆
C.若，则是双曲线 D.若，则是两条平行于轴的直线
10.如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则
A.平面 B.平面
C.在上的投影向量为 D.二面角的余弦值为
11.已知点在圆上，点，则下列说法正确的是
A.圆与圆的公共弦方程为
B.满足的点有2个
C.若圆与圆、直线AB均相切，则圆的半径的最小值为
D.的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.若点和点关于直线对称，则______．
13.已知是抛物线的焦点，是上一点，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
14.已知是球上三点，球心的坐标为是球上一动点，则三棱锥的体积的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知是的三个顶点．
（1）若直线经过BC的中点，且与直线AB平行，求的一般式方程；
（2）求的面积．
16.（15分）在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为AC的中点.
（1）用表示，并求的值；
（2）求的值.
17.（15分）已知圆经过点和，其圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点且与圆相切，求的方程.
18.（17分）如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，点在线段上运动．
（1）证明：．
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
（3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
19.（17分）若将任意平面向量绕起点逆时针方向旋转角，得到向量，则称点绕点逆时针方向旋转角得到点.在平面直角坐标系中，已知曲线是椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆.
（1）求的方程.
（2）已知M，N是椭圆长轴上的两个顶点，P，Q为椭圆上异于M，N的两点，且关于轴对称，若直线MP与直线NQ交于点，证明：点在某定曲线上，并求出该曲线的方程．
（3）已知，不过点的动直线与交于A，B两点，直线HA与HB的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点的坐标．
高二阶段性诊断测试数学参考答案
1.C 由题可得，解得.
2.B 双曲线的渐近线方程是.
3.A 设所求的单位向量为，解得，则，故所求的单位向量为.
4.A 依题意，方程表示圆，则，解得.因为坐标原点不在圆的内部，所以.综上，.
5.C 可化为，可得圆心，半径．当时，最小，此时点到的距离，所以的最小值为.
6.D 由题可知.因为为直角三角形，所以，则，即，解得．
7.A 由题可知.因为A，B，C，D四点共面，所以，即，则解得.
8.B 因为，所以．因为，所以，则，即，解得．
9.BCD 对于A，若，则曲线表示圆，故A错误；
对于B，若，则可化为，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；
对于C，若，则曲线表示双曲线，故C正确；
对于D，若，则可化为，此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确．
10.AD 以为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（图略），则，所以.设平面的法向量为，则令，则，.因为，所以平面，A正确.，所以EO不与平面平行，B错误.在上的投影向量为，C错误．易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，所以，D正确.
11.ABD 和两式作差，可得，故A正确.
由，可得点的轨迹是以AB为直径，3为半径的圆，圆心的坐标为.两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是3，即两圆相交，满足条件的点有2个，故B正确.
直线AB的方程为，即，圆心到直线AB的距离为，所以圆的半径的最小值为，故C错误.
设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有．设，则有，化简得．因为，所以即，所以，故D正确．
12.-2 因为，所以，解得.又AB的中点坐标为，，所以，解得.故.
13.3；由题意，抛物线的方程为，所以，焦点．过点作准线的垂线，垂足为.由题可知.依题意可知当P，Q，E三点共线且点在中间时，距离之和最小，最小值为3.如图所示，点的纵坐标为-1，代入抛物线的方程，求得，所以点的坐标为.
14. 由题意，，则，所以，则的面积为.因为，，所以球的半径为1.设平面ABC的法向量为，则取，则点到平面ABC的距离，所以三棱锥的体积的最大值为.
15.解：（1）由题意，，…………………………………………………………2分
BC的中点坐标为，………………………………………………………………………………3分
所以的方程为，即的一般式方程为.…………………………………6分
（2）由题意，，………………………………………………………………8分
直线AB的方程为，即.…………………………………………………9分
因为点到直线AB的距离为，………………………………………………11分
所以的面积为.…………………………………………………………13分
16.解：（1），………………………3分
，…………………6分
则
.…………………………………………………………………………10分
（2），………………………………………………………………12分
.…………………………………………………15分
17.解：（1）设圆的标准方程为，………………………………………1分
所以…………………………………………………………………………4分
解得，………………………………………………………………………………6分
故圆的标准方程为．……………………………………………………7分
（2）由（1）可知圆心为．
①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，符合题意；………………………………10分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即……………………12分
由题意，圆心到直线的距离等于半径2，即，解得，此时直线的方程为．…………………………………………………………………………………………14分
综上，所求直线的方程为或．…………………………………………………15分
18.（1）证明：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，…2分
则，
所以.…………………………………………………………………………………………4分
（2）解：由（1）可得，
所以，…………………………………………………………………6分
故异面直线与所成角的余弦值为.………………………………………………………………8分
（3）解：设.因为，所以，
则.………………………………10分
由（1）可得.
设平面的法向量为，
则取.………………………………………………………………12分
设直线与平面所成的角为，则
.令，则，
所以.………………………………………………15分
当，即时，取得最大值，最大值为1；当，即时，取得最小值，最小值为.故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.………………………………17分
19.（1）解：（方法一）设为椭圆上任意一点，则即斜椭圆上一点，…………………………………………………………………………………………………………2分
则，………………4分
化简得，故椭圆的方程为．……………………………………………………5分
（方法二）由得或…………………………………………1分
由得或………………………………………………2分
所以椭圆的长轴长为，得，…………………………3分
椭圆的短轴长为，得，……………………4分
故椭圆的方程为.……………………………………………………………………………5分
（2）证明：根据椭圆的对称性，不妨令．设，则.
，由P，M，T三点共线，得；…………6分
，由Q，N，T三点共线，得.…………7分
两式相乘可得.…………………………………………………………………8分
因为，所以，所以，
故点在某定曲线上，该定曲线的方程为.…………………………………………10分
（3）解：当直线的斜率为0时，设直线的方程为，
则，且，即，
所以，不符合题意．………………………………………………11分
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为.
由消去得，
则.……………………………………………………………………13分
直线HA与HB的斜率分别为，
于是
，
整理得，解得或.……………………………………………………………15分
当时，直线过点，不符合题意，因此.
综上，直线过定点．………………………………………………………………17分
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知直线的倾斜角为，则
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
3.与向量同向的单位向量为
A. B. C. D.
4.已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5.若过点的直线与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为
A.4 B. C. D.
6.已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，过点且与长轴垂直的直线交于A，B两点.若为直角三角形，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
7.已知，若A，B，C，D四点共面，则
A.-3 B.2 C.4 D.5
8.已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则
A. B.2 C. D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知曲线，下列结论正确的有
A.若，则是椭圆 B.若，则是焦点在轴上的椭圆
C.若，则是双曲线 D.若，则是两条平行于轴的直线
10.如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则
A.平面 B.平面
C.在上的投影向量为 D.二面角的余弦值为
11.已知点在圆上，点，则下列说法正确的是
A.圆与圆的公共弦方程为
B.满足的点有2个
C.若圆与圆、直线AB均相切，则圆的半径的最小值为
D.的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.若点和点关于直线对称，则______．
13.已知是抛物线的焦点，是上一点，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
14.已知是球上三点，球心的坐标为是球上一动点，则三棱锥的体积的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知是的三个顶点．
（1）若直线经过BC的中点，且与直线AB平行，求的一般式方程；
（2）求的面积．
16.（15分）在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为AC的中点.
（1）用表示，并求的值；
（2）求的值.
17.（15分）已知圆经过点和，其圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点且与圆相切，求的方程.
18.（17分）如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，点在线段上运动．
（1）证明：．
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
（3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
19.（17分）若将任意平面向量绕起点逆时针方向旋转角，得到向量，则称点绕点逆时针方向旋转角得到点.在平面直角坐标系中，已知曲线是椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆.
（1）求的方程.
（2）已知M，N是椭圆长轴上的两个顶点，P，Q为椭圆上异于M，N的两点，且关于轴对称，若直线MP与直线NQ交于点，证明：点在某定曲线上，并求出该曲线的方程．
（3）已知，不过点的动直线与交于A，B两点，直线HA与HB的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点的坐标．
高二阶段性诊断测试数学参考答案
1.C 由题可得，解得.
2.B 双曲线的渐近线方程是.
3.A 设所求的单位向量为，解得，则，故所求的单位向量为.
4.A 依题意，方程表示圆，则，解得.因为坐标原点不在圆的内部，所以.综上，.
5.C 可化为，可得圆心，半径．当时，最小，此时点到的距离，所以的最小值为.
6.D 由题可知.因为为直角三角形，所以，则，即，解得．
7.A 由题可知.因为A，B，C，D四点共面，所以，即，则解得.
8.B 因为，所以．因为，所以，则，即，解得．
9.BCD 对于A，若，则曲线表示圆，故A错误；
对于B，若，则可化为，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；
对于C，若，则曲线表示双曲线，故C正确；
对于D，若，则可化为，此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确．
10.AD 以为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（图略），则，所以.设平面的法向量为，则令，则，.因为，所以平面，A正确.，所以EO不与平面平行，B错误.在上的投影向量为，C错误．易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，所以，D正确.
11.ABD 和两式作差，可得，故A正确.
由，可得点的轨迹是以AB为直径，3为半径的圆，圆心的坐标为.两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是3，即两圆相交，满足条件的点有2个，故B正确.
直线AB的方程为，即，圆心到直线AB的距离为，所以圆的半径的最小值为，故C错误.
设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有．设，则有，化简得．因为，所以即，所以，故D正确．
12.-2 因为，所以，解得.又AB的中点坐标为，，所以，解得.故.
13.3；由题意，抛物线的方程为，所以，焦点．过点作准线的垂线，垂足为.由题可知.依题意可知当P，Q，E三点共线且点在中间时，距离之和最小，最小值为3.如图所示，点的纵坐标为-1，代入抛物线的方程，求得，所以点的坐标为.
14. 由题意，，则，所以，则的面积为.因为，，所以球的半径为1.设平面ABC的法向量为，则取，则点到平面ABC的距离，所以三棱锥的体积的最大值为.
15.解：（1）由题意，，…………………………………………………………2分
BC的中点坐标为，………………………………………………………………………………3分
所以的方程为，即的一般式方程为.…………………………………6分
（2）由题意，，………………………………………………………………8分
直线AB的方程为，即.…………………………………………………9分
因为点到直线AB的距离为，………………………………………………11分
所以的面积为.…………………………………………………………13分
16.解：（1），………………………3分
，…………………6分
则
.…………………………………………………………………………10分
（2），………………………………………………………………12分
.…………………………………………………15分
17.解：（1）设圆的标准方程为，………………………………………1分
所以…………………………………………………………………………4分
解得，………………………………………………………………………………6分
故圆的标准方程为．……………………………………………………7分
（2）由（1）可知圆心为．
①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，符合题意；………………………………10分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即……………………12分
由题意，圆心到直线的距离等于半径2，即，解得，此时直线的方程为．…………………………………………………………………………………………14分
综上，所求直线的方程为或．…………………………………………………15分
18.（1）证明：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，…2分
则，
所以.…………………………………………………………………………………………4分
（2）解：由（1）可得，
所以，…………………………………………………………………6分
故异面直线与所成角的余弦值为.………………………………………………………………8分
（3）解：设.因为，所以，
则.………………………………10分
由（1）可得.
设平面的法向量为，
则取.………………………………………………………………12分
设直线与平面所成的角为，则
.令，则，
所以.………………………………………………15分
当，即时，取得最大值，最大值为1；当，即时，取得最小值，最小值为.故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.………………………………17分
19.（1）解：（方法一）设为椭圆上任意一点，则即斜椭圆上一点，…………………………………………………………………………………………………………2分
则，………………4分
化简得，故椭圆的方程为．……………………………………………………5分
（方法二）由得或…………………………………………1分
由得或………………………………………………2分
所以椭圆的长轴长为，得，…………………………3分
椭圆的短轴长为，得，……………………4分
故椭圆的方程为.……………………………………………………………………………5分
（2）证明：根据椭圆的对称性，不妨令．设，则.
，由P，M，T三点共线，得；…………6分
，由Q，N，T三点共线，得.…………7分
两式相乘可得.…………………………………………………………………8分
因为，所以，所以，
故点在某定曲线上，该定曲线的方程为.…………………………………………10分
（3）解：当直线的斜率为0时，设直线的方程为，
则，且，即，
所以，不符合题意．………………………………………………11分
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为.
由消去得，
则.……………………………………………………………………13分
直线HA与HB的斜率分别为，
于是
，
整理得，解得或.……………………………………………………………15分
当时，直线过点，不符合题意，因此.
综上，直线过定点．………………………………………………………………17分