山东省济宁市2024-2025学年高三上学期11月阶段性学业检测数学试题（含答案）

济宁市2024—2025学年度阶段性学业检测
高三数学试题
2024.11
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4.本试卷考试时间120分钟，满分为150分。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，对应的点位于（ ）.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在等比数列中，，，则（ ）
A.36 B. C. D.6
4.已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.3
6.已知为定义在上的奇函数，当时，.若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，平面，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，则 D.函数的最小值为
10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.函数的图象关于对称
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在上单调递增
D.该图象向右平移个单位长度可得的图象
11.如图，正方体棱长为2，、、、分别是棱，棱，棱，棱的中点，下列结论正确的是（ ）
A.直线与为异面直线
B.沿正方体的表面从点到点的最短距离为
C.过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为
D.线段上存在点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为________.
13.若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱长为，则其体积为________.
14.已知数列满足，，其中为函数的极值点，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本题满分13分）
已知数列的首项为，且满足.
（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16.（本题满分15分）
记的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的值；
（2）若为的中点，且，，求的面积.
17.（本题满分15分）
在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面平面.
（1）求证：；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本题满分17分）
设函数，.
（1）求在处的切线方程；
（2）证明：之；
（3）若方程有两个实根，求实数的取值范围.
19.（本题满分17分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；
（3）设，，数列的前项和为.证明：.
济宁市2024—2025学年度阶段性学业检测
高三数学试题答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 2.A 3.D 4.B 5.B
6.D 7.C 8.A
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.BC 10.ABD 11.AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）由，，得，则，
于是 3分
所以数列是首项，公差为2的等差数列， 4分
，所以. 6分
（2）由（1）知， 9分
所以. 13分
16.（1）由正弦定理得，，
则由，得：， 2分
，， 4分
，； 6分
（2）为的中点，，
，① 10分
由余弦定理得，，② 12分
联立①②，解得， 13分
，的面积为. 15分
17.（1）由题意知平面平面，
又平面平面，，平面，
所以平面. 2分
因为平面，所以. 3分
又因为，，平面，平面，
所以平面. 5分
因为平面，所以. 6分
（2）法一：取中点为，连结、，因为，点是中点，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.所以. 8分
则，则，，，所以是等腰三角形，
则，又. 10分
设到平面的距离为，
则由得，.解得：， 12分
所以直线与平面所成的角的正弦值为，
所以直线与平面所成的角的正弦值为. 15分
法二：取中点为，连结.取中点为，连结.
因为，点是中点，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为点、分别是、的中点，所以，则.
则，.
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
如图建立空间直角坐标系， 8分
则，，，，，，
，，，.9分
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
所以是平面的一个法向量. 11分
设直线与平面所成的角为，
则， 14分
所以直线与平面所成的角的正弦值为. 15分
18.（1），则，. 1分
在处的切线方程为，即. 2分
（2）令，. 3分
.
令，解得. 4分
，；，.
在上单调递减，在上单调递增. 5分
，即. 6分
（3）令，，
问题转化为在上有两个零点. 7分
. 8分
（1）当时，，在递减，
至多只有一个零点，不符合要求. 9分
（2）当时，令，解得
当时，，递减；当时，，递增。
所以. 11分
当时，，只有一个零点，不合题意. 12分
令，，当时，，
所以在递增，.
由于，，，
，使得，故满足条件. 14分
当时，，所以在递减，.
由于，，
，使得，故满足条件. 16分
综上所述：实数的取值范围为. 17分
19.（1）函数的定义域为，， 1分
（1）若，恒成立，在上单调递增. 2分
（2）若，时，单调递增；
时，，单调递减. 4分
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：令，
则. 5分
因为，所以，在区间上单调递减. 6分
7分
令，，则，
所以，时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，，
又，所以，，所以恒成立，
又因为，，所以，. 9分
同理可得，，
由（时等号成立）得，，即（时等号成立），
又，所以，所以恒成立，
又因为，，，所以，， 11分
所以，区间上存在唯一实数，使得，
所以对任意，存在唯一的实数，
使得成立； 12分
（3）证明：当时，由（1）可得，在上单调递减.
所以，时，，即. 13分
令，，则，
即，即
令，，则， 15分
所以
所以，.17分