四川省2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题（含答案）

2023级2024年秋第二次月考数学试题
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.若随机事件满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
3.直线，平行，且，的距离为，则（ ）
A.-3或3 B.-2或4 C.-1或5 D.-2或2
4.下列命题中正确的是（ ）
A.点关于平面对称的点的坐标是
B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与所成角为
D.若，，，四点共面，已知为空间任意一点，且，则
5.“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为与的交点，则线段的长为（ ）
A.3 B. C. D.
7.《古从军行》中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B.5 C. D.
8.在长方体中，，.动点从出发，在棱上匀速运动；动点同时从出发，在棱上匀速运动，的运动速度是的两倍，各自运动到另一端点停止.它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则下列说法正确的有（ ）
A.该学校高一学生共800人
B.志愿服务小组共有学生96人
C.志愿服务小组中高三学生共有20人
D.某高三学生被选入志愿服务小组的概率为
10.下列说法正确的是（ ）
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.若，，三点在一条直线上，则
C.过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D.直线的方向向量为，则该直线的斜率为
11.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（ ）
A.和是互斥事件但不是对立事件 B.和是互斥事件也是对立事件
C. D.
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆的圆心坐标为（2，-3），且点（-1，-1）在圆上，则圆的一般方程为_________________.
13.已知一组数据，，，的平均数为10，方差为2，若这组数据，，，的平均数为，方差为，则_________，_________.
14.两条异面直线，所成的角为，在直线上取点，，在直线上取点，，使，且.已知，，，则线段的长为_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由.
16.（15分）
已知直线.
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求的面积的最小值及此时直线的一般式方程.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
18.（17分）
某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下人数统计表和各年龄段人数频率分布直方图.
（一）人数统计表
序号 分组（岁） 本组中"低碳族"人数 “低碳族”人数在本组所占的比例
1 120 0.6
2 195
3 100 0.5
4 0.4
5 30 0.3
6 [50，55] 15 0.3
（二）各年龄段人数频率分布直方图
（1）在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值；
（2）从岁年龄段的“低碳族”中采用按比例分配的分层抽样方法抽取6人参加户外低碳体验活动.若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率.
19.（17分）
如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.
（1）求证：平面；
（2）求棱与所成的角的大小；
（3）在线段上确定一点，使，并求出平面与平面夹角的余弦值.
高二数学半期考试参考答案
1-5BBACA 6-8CAD 9.AC 10.AD 11.BD
12. 13.19，8 14.12或
13.解：（1）设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为，，，从中任取一球，得到红球或黄球为事件，得到黄球或蓝球为事件
，
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1 6分
（2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个，
用，表示红球的编号，用表示黄球的编号，用表示蓝球的编号，
用表示第一次取出的球的编号，用表示第二次取出的球的编号，用（m，n）表示试验的样本点，
则样本空间
可得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以，所以，因为，所以此游戏不公平 13分
16.
直线的方程为：，它过定点，在第二象限，
因此直线不过第四象限，则，
的取值范围是.
由题意可知，再由的方程，得，.
依题意得解得.
，
“”成立的条件是且，即，
，此时直线的方程为.
17.（1）过作，垂足为，则，
平面，平面，平面
，
如图，以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
为中点，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得，
即，又平面，所以平面； 7分
（2）又，由（1）知平面的法向量
15分
故点到平面的距离为.
18.（本小题满分17分）
（1）结合频率分布直方图可知，第二组的频率为，所以第二组高为.故补全频率分布直方图如下：
第一组的人数为，频率为，所以；
因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以；
因为第四组的频率为，所以第四组的人数为，
所以. 10分
（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比为，按比例分配的分层抽样法抽取6人，则在岁中抽取4人，在岁中抽取2人.设年龄在中被抽取的4个人分别为：，，，；
年龄在岁中被抽取的2个人分别为：，；
用分别表示分到甲组、乙组的人，用表示试验的样本点
则该试验的样本空间
记“岁中被抽取的人恰好有分在同一组”为事件，
则
所以 17分
19.（1）因为三棱柱中，，所以，
因为顶点在底面上的射影恰为点，平面，所以，所以，
又，平面，平面，所以平面.
（2）以为原点，射线，，分别为，，轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，所以，，设棱与BC所成的角为，
所以，
又，所以，故棱与所成的角为.
（3）设，则.
于是，解得，则为棱的中点，其坐标为.
设平面的一个法向量，则，
令，得，
而平面的一个法向量，则，，
故平面与平面夹角的余弦值为 17分