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第十一章 三角形 单元真题详解卷
一、选择题
1．在 中，若 都是锐角，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
2．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．2，3，5 C．3，4，5 D．3，6，3
3．一个三角形的三个内角的度数比是1：2：1，这个三角形是（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
4．以长为2cm、3cm、4cm、5cm的线段中的三条线段为边，可能构成（ ）个不同形状的三角形
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，AE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分面积S＝（ ）cm2．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图， 交 于点 ， 的角平分线与 的外角 的角平分线交于点 ，则 与 ， 的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．张师傅打算从长为8，7，4，3的四根钢筋条中选用三根首尾顺次连接制作三角形，则他的选法有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
8．具备下列条件的 中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．正多边形的每个内角都是135°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF.正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
11．如图所示，在中，，，外角 ．
12．从五边形的一个顶点出发，可以画出 条对角线．
13．一个多边形的内角和等于 ，则它是 边形
14．如图所示，△ABC中，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，则∠BEC的度数是 ．
15．在 中，若 ，则 是 三角形.
16．在△ABC中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则必有一个内角等于 °.
三、综合题
17．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形.
（1）其中以AB为一边可以画出 个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出 个三角形.
18．计算题
（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？
（2）在 ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把 ABC的周长分为21厘米和12厘米两部分，求 ABC各边的长．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
20．如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，∠ABC＝∠ACE．
（1）求证：AB//CE；
（2）猜想：若∠A＝50°，求∠E的度数．
21．如图
（1）探究：如图1，求证： ；
（2）应用：如图2， ， ，求 的度数.
22．已知 ， ， ，且m>n>0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
23．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
24．已知a，b，c是△ABC的三边长。
（1）若a，b，c满足|a-b|+|b-c|=0，试判断△ABC的形状。
（2）若a，b，c满足(a-b)(b-c)=0，试判断△ABC的形状。
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第十一章 三角形 单元真题详解卷
一、选择题
1．在 中，若 都是锐角，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【答案】D
【解析】【解答】解：∵0°＜∠A＜90°，0°＜∠B＜90°，
∴如果∠A＝10°，∠B＝20°，那么∠C＝180°﹣10°﹣20°＝150°，是钝角；
如果∠A＝30°，∠B＝60°，那么∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，是直角；
如果∠A＝60°，∠B＝70°，那么∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，是锐角；
即∠C可能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角，所以△ABC是直角三角形、钝角三角形或锐角三角形．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的内角和及 都是锐角，判断三角形即可作答。
2．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．2，3，5 C．3，4，5 D．3，6，3
【答案】C
【解析】【解答】解：A选项， ，不可以构成三角形；
B选项， ，不可以构成三角形；
C选项， ，可以构成三角形；
D选项， ，不可以构成三角形.
故答案为：C.
【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此判断.
3．一个三角形的三个内角的度数比是1：2：1，这个三角形是（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：最大内角=180°× =90°，另外内角=180°× =45°.故三角形为等腰直角三角形.故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和求出每个内角的度数，然后判断即可.
4．以长为2cm、3cm、4cm、5cm的线段中的三条线段为边，可能构成（ ）个不同形状的三角形
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：若以2cm、3cm、4cm三条线段为边，由2+3=5﹥4知，能构成三角形，
若以2cm、3cm、5cm三条线段为边，由2+3=5知，不能构成三角形，
若以2cm、4cm、5cm三条线段为边，由2+4=6﹥5知，能构成三角形，
若以3cm、4cm、5cm三条线段为边，由3+4=7﹥5知，能构成三角形，
综上，可以构成3个不同形状的三角形，
故答案为：C.
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边判断是否构成三角形即可.
5．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，AE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分面积S＝（ ）cm2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝ S△ABC＝6，
∵点E为AD的中点，
∴S△EBD＝S△EDC＝ S△ABD＝3，
∴S△EBC＝S△EBD+S△EDC＝6，
∵点F为EC的中点，
∴S△BEF＝ S△BEC＝3，
即阴影部分的面积为3cm2．
故答案为：C．
【分析】根据三角形面积公式由点D为BC的中点得到S△ABD＝S△ADC＝ S△ABC＝6，同理得到S△EBD＝S△EDC＝ S△ABD＝3，则S△BEC＝6，然后再由点F为EC的中点得到S△BEF＝ S△BEC＝3．
6．如图， 交 于点 ， 的角平分线与 的外角 的角平分线交于点 ，则 与 ， 的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设 ， ，
则有
①②，可得 ，
则 ．
故答案为：A．
【分析】设∠PAB=∠OAP=x，∠ECP=∠PCB=y，利用三角形内角和定理构建方程组解决问题即可．
7．张师傅打算从长为8，7，4，3的四根钢筋条中选用三根首尾顺次连接制作三角形，则他的选法有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】C
【解析】【解答】解：其中的任意三条组合有①8，7，4；②8，7，3；③7，4，3；④ ，8，3四种情况，
根据三角形的三边关系，可知只有①②两种能组成三角形，
故有2种不同的选法．
故答案为：C．
【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
8．具备下列条件的 中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、由 和 可得：∠C=90°，是直角三角形，此选项不符合题意；
B、由 得 ，又 ，则∠A=90°，是直角三角形，此选项不符合题意；
C、由题意， ，是直角三角形，此选项不符合题意；
D、由 得3∠C+3∠C+∠C=180°，解得： ，则∠A=∠B= ≠90°，不是直角三角形，此选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用三角形的内角和定理分别求出各选项中较大的角的度数，可得到不是直角三角形的选项。
9．正多边形的每个内角都是135°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°-135°=45°，
∴这个多边形的边数为：360°÷45°=8．
故答案为：C．
【分析】由一个正多边形的每个内角都为135°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF.正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：∵BE是中线，
∴ ，
∴S△ABE＝S△BCE(等底同高的两个三角形面积相等)，故①正确；
∵CF是角平分线，
∴ ，
∵AD是高，
∴ ，
∵ ，
，
，
，故②正确；
根据已知条件不能推出 ，故③错误；
∵AD是高，
∵CF是角平分线，
即 ，故④正确.
故答案为：C.
【分析】由中线的概念可得AE=CE，根据等底同高的两个三角形面积相等可判断①；由角平分线的概念可得∠ACF=∠BCF，由同角的余角相等可得∠ABC=∠CAD，由外角的性质可得∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，据此判断②；由同角的余角相等可得∠ACB=∠BAD，由角平分线的概念可得∠ACB=2∠ACF，推出∠BAD=2∠ACF，据此判断④.
二、填空题
11．如图所示，在中，，，外角 ．
【答案】50°
【解析】【解答】解：∵是的外角，，，
∴，
故答案为：.
【分析】本题主要考查三角形外角的性质，理解并掌握三角形外角的性质及计算方法是解题的关键．根据三角形外角的定义和性质可知：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即：，代入数据即可求解．
12．从五边形的一个顶点出发，可以画出 条对角线．
【答案】2
【解析】【解答】解：从五边形的一个顶点可以引（5-3）=2条对角线.
故答案为：2.
【分析】利用从n边形的一个顶点可以引（n-3）=2条对角线，即可求解.
13．一个多边形的内角和等于 ，则它是 边形
【答案】9
【解析】【解答】解：设它是n边形，由题意得
(n-2) ×180°=1260，
解之得
n=9.
故答案为：9.
【分析】设它是n边形，根据多边形的内角和公式，由内角和等于1260°建立方程，求解即可.
14．如图所示，△ABC中，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，则∠BEC的度数是 ．
【答案】125°
【解析】【解答】解：∵∠A=65°，∠ABD=30°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=65°+30°=95°，∴∠BEC=∠EDC+∠DCE=95°+30°=125°．故答案为：125°．
【分析】根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解即可。
15．在 中，若 ，则 是 三角形.
【答案】直角
【解析】【解答】由题意，设∠C=6x，由∠B=4x，∠A=2x，则6x+4x+2x=180°，
∴x=15°，
∴最大角为∠C=6x=90°，则三角形的形状是直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】由题意可知，设∠C=6x，则∠B=4x，∠A=2x，由三角形的内角和定理求得x的值，即可求得∠A，∠B，∠C三个角的度数，由此可以判定是直角三角形。
16．在△ABC中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则必有一个内角等于 °.
【答案】90
【解析】【解答】解： ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C-∠A，
∴∠A+∠C-∠A +∠C =180°，
∴∠C=90°，
故答案为：90．
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠B=∠C-∠A代入求出∠C即可．
三、综合题
17．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形.
（1）其中以AB为一边可以画出 个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出 个三角形.
【答案】（1）3
（2）6
【解析】【解答】（1）以AB为一边可以画出3个三角形为：△ABE，△ABD，△ABC；
（2）以C为顶点可以画出6个三角形为：△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE．
故答案为：3；6
【分析】（1）根据三角形的定义，再选择一个点，然后顺次连接可画出图形。
（2）利用三角形的定义，再在A、B、D、E中任意选择两点，然后顺次连接可画出图形。
18．计算题
（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？
（2）在 ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把 ABC的周长分为21厘米和12厘米两部分，求 ABC各边的长．
【答案】（1）解：设多边形边数为n．
则360°×2=（n-2）·180°，
解得n=6．
答：它是六边形．
（2）解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB=AC=2xcm，BC=ycm，
∵BD是腰上的中线，
∴AD=DC=x，
若AB+AD的长为21，则2x+x=21，解得x=7，
则x+y=12，即7+y=12，解得y=5，
∴三角形的三边长分别为：AB=14cm，AC=14cm，BC=5cm；
若AB+AD的长为12，则2x+x=12，解得x=4，
则x+y=21，即4+y=21，解得y=17，
∴三角形的三边长分别为：AB=8cm，AC=8cm，BC=17cm；
∵8+8＜17，
∴此时不能构成三角形，
∴三角形的三边长分别为：AB=14cm，AC=14cm，BC=5cm．
【解析】【分析】（1）多边形的外角和是360°，多边形的外角和是内角和的一半，则多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和可表示出 （n-2）·180°， 依次列出方程求解即可；
（2）等腰三角形一腰上的中线价格它的周长分为21cm和12cm两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪一个为12cm，哪一个为21cm，因此由两种情况，需要分类讨论。
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【答案】（1）解：∵∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-40°-80°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=×60°=30°.
（2）解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°
∴∠DAB=90°-∠B=90°-40°=50°；
∴∠DAE=∠DBA-∠BAE=50°-30°=20°.
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数；再利用三角形的角平分线的定义求出∠BAE的度数.
（2）利用三角形高的定义可求出∠ADB的度数；再利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠DAB的度数；然后根据∠DAE=∠DBA-∠BAE，代入计算即可.
20．如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，∠ABC＝∠ACE．
（1）求证：AB//CE；
（2）猜想：若∠A＝50°，求∠E的度数．
【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACE，
∴∠ABC＝∠ECD，
∴AB∥CE；
（2）∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝ ∠ACD﹣ ∠ABC＝ ∠A＝25°．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ECD=∠ACE，得到∠ABC=∠ECD，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）结合三角形的外角性质和角平分线的定义，利用角的和差关系计算可得答案．
21．如图
（1）探究：如图1，求证： ；
（2）应用：如图2， ， ，求 的度数.
【答案】（1）证明：如图1，连接AO并延长，
∵ 是 的外角，∴ .①；
∵ 是 的外角，∴②；
①+②，得 ，
∴ .
（2）解：如图2，连接AD.
由（1），得 ③； ④；
③+④得： ，
∵ ， ，
∴ .
【解析】【分析】（1）连接AO并延长，由外角的性质可得∠1+∠B=∠3，∠2+∠C=∠4，两式相加可得∠1+∠B+∠2+∠C=∠3+∠4，据此解答；
（2）连接AD，由（1）得 ∠F+∠2+∠3=∠DEF，∠1+∠4+∠C=∠ABC，然后将两式相加就可得到结果.
22．已知 ， ， ，且m>n>0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
【答案】（1）解：∵a-b=m2+n2-m2=n2＞0；
a-c=m2+n2-mn=（m-n）2+mn＞0；
b-c= m2-mn=m（m-n）＞0
∴a＞b＞c
（2）解：由（1）a＞b＞c可得，a+b＞c
∵a-b= m2+n2-m2=n2＜mn
∴a-b＜c
∴以a、b、c为边长的三角形一定存在．
【解析】【分析】（1）根据代数式大小比较的方法进行比较即可；
（2）根据三角形两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可求解。
23．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴ AB AC= BC AD，
∴AD= = =4.8（cm），即AD的长度为4.8cm
（2）解：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S△ABC= AB AC= ×6×8=24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴ BE AD= EC AD，即S△ABE=S△AEC，
∴S△ABE= S△ABC=12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）解：∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积法即可得出 AB AC= BC AD，根据方程求解即可得出AD的长；
（2）根据三角形的任意一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，由 S△ABE= S△ABC即可算出答案；
（3）根据三角形周长的计算方法，由 △ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE） 即可算出答案。
24．已知a，b，c是△ABC的三边长。
（1）若a，b，c满足|a-b|+|b-c|=0，试判断△ABC的形状。
（2）若a，b，c满足(a-b)(b-c)=0，试判断△ABC的形状。
【答案】（1）解：∵|a-b|+|b-c|=0，
∴a-b=0且b-c=0
∴a=b=c
∴△ABC为等边三角形
（2）解：∵(a-b)(b-c)=0，
∴a-b=0或b-c=0
∴a=b或b=c．
∴△ABC为等腰三角形
【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性，即可得到a=b=c，即可得到三角形的形状为等边三角形；
（2）根据题意，即可得到a=b或b=c，即可判断三角形的形状。
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