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第十三章 轴对称 单元专项培优卷
一、选择题
1．在直角坐标系中，点A（2，﹣8）和点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣8） B．（2，8）
C．（﹣2，8） D．（8，2
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的三条中线都在三角形的内部
B．等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，若AB＝10，则CE的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．10
6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则点P的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如果等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，那么它的周长为（ ）
A．17cm B．13cm C．17cm或22cm D．22cm
8．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ）
A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
10．正三角形ABC所在的平面内有一点P，使得△PAB，△PBC，△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
二、填空题
11． 已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2021＝ ．
12．若一个等腰三角形一个内角是另一个内角的一半，则此三角形底角度数为 ．
13．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是 °.
14．如图，等腰 的周长为36，底边上的高 ，则 的周长为 .
15．如图， 中，DE垂直平分BC交BC于点D，交AB于点E， ， ，则 .
16．如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为 ．
三、综合题
17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，E在AC边上，且AD＝AE.
（1）若∠BAD＝40°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝15°，求∠BAD的度数；
（3）根据上述两小题的答案，试探索∠EDC与∠BAD的关系.
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=60°，BE=2，求△ABC的周长．
19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
（1）根据作图判断：△ABD的形状是 ；
（2）若BD＝10，求CD的长．
20．如图， 中， ，已知 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 .
（1）如图，观察并猜想 和 有怎样的数量关系？并说明理由.
（2）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形. 如上图，证明四边形 是筝形.
（3）如图，若 ，其他条件不变，求 的长度.
21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）作出与△ABC关于y轴对称△A1B1C1 ，并写出三个顶点的坐标为：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；
22．利用所学的知识计算：
（1）已知 和 都为正数， ， ，求a+b的值；
（2）已知 ， ， 为等腰△ 的三边的长，若 。求等腰△ 的周长.
23．已知；如图，在△ABC中，
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D.（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在AB上求作一点P，使得PA=PC.（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
24．在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边在直线的同侧作等边三角形，作得的两个等边三角形的另一顶点分别为D，E两点.连结DE.
（1）如图1所示，连结CD，AE，求证：CD = AE.
（2）如图2所示，若AB = 1，BC = 2，求证：∠BDE = 90°.
（3）如图3所示，将图2中的等边三角形BEC绕点B作适当的旋转，连结AE，若有DE 2 + BE 2 = AE 2，试求∠DEB的度数.
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第十三章 轴对称 单元专项培优卷
一、选择题
1．在直角坐标系中，点A（2，﹣8）和点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣8） B．（2，8）
C．（﹣2，8） D．（8，2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点A（2，﹣8）和点B关于y轴对称
∴点B（﹣2，﹣8）
故答案为：A
【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变求解即可。
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的三条中线都在三角形的内部
B．等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称
【答案】D
【解析】【解答】解：A、三角形的三条中线都在三角形的内部，本选项说法是真命题；
B、等腰三角形底边的中点也在顶角的角平分线上，故到两腰的距离相等，本选项说法是真命题；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；
D、全等的两个三角形不一定关于某直线成轴对称，本选项说法是假命题；
故答案为：D.
【分析】根据三角形中线的概念、等腰三角形的性质、等边三角形的判定定理和轴对称图形概念分别判断即可.
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】【解答】解：根据垂线段最短，可知AP的最小值为2．
∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴AP的最大值为4．
故答案为：D．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2AC=4，再利用图形可得AP的最小值为2，最大值为4，即可得到答案。
5．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，若AB＝10，则CE的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=BC=10，∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
∴∠ABC=180°-∠C-∠A=180°-36°-36°=108°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=108°-36°=72°，
∵∠BEC=∠A+∠ABE=72°，
∴∠BEC=∠EBC，
∴CE=BC=10，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠C=36°，则可根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据垂直平分线的性质求出∠ABE的度数，则可根据角的和差求出∠EBC的度数，再根据三角形外角的性质求出∠BEC，得出∠BEC=∠EBC，即可解答.
6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则点P的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示格点都能使得△ABP为等腰三角形
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形的判定作图求解即可。
7．如果等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，那么它的周长为（ ）
A．17cm B．13cm C．17cm或22cm D．22cm
【答案】D
【解析】【解答】解：∵等腰三角形有两边分别分别是4cm和9cm，
∴此题有两种情况：
①4cm为底边，那么9cm就是腰，则等腰三角形的周长为4+9+9=22，
②9底边，那么4cm是腰，4+4=8<9，所以不能围成三角形应舍去．
∴该等腰三角形的周长为22cm．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质，分类讨论计算求解即可。
8．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ）
A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
【答案】A
【解析】【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°.
故答案为：A.
【分析】分两种情况：①当70°是顶角时，②当70°是底角时，据此解答即可.
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝3
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由已知条件可知∠ADE＝∠B，结合内角和定理可得∠BAD＝∠CDE，由垂直平分线的性质可得AD＝ED，证明△ABD≌△DCE，得到CD＝AB＝9，BD＝CE，然后结合CD＝3BD进行计算.
10．正三角形ABC所在的平面内有一点P，使得△PAB，△PBC，△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
【答案】D
【解析】【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（ 2 ）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的.
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个.
故答案为：D.
【分析】（1）点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；
（2）点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可．
二、填空题
11． 已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2021＝ ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，
∴a=4，b=-3，
则．
故答案为：1．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案．
12．若一个等腰三角形一个内角是另一个内角的一半，则此三角形底角度数为 ．
【答案】45°或72°
【解析】【解答】解：等腰三角形一个内角是另一个内角的一半，
当顶角等于底角的一半时，设顶角为x，则低角为2x，2x+2x+x=180°，求得x=36°，此三角形底角度数为2x=72°；
当底角等于顶角的一半时，设低角为y，则顶角为2y，y+y+2y=180°，求得y=45°，此三角形底角度数为y=45°.
故答案为：45°或72°.
【分析】分顶角等于底角的一半和底角等于顶角的一半讨论求解此三角形底角度数.
13．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是 °.
【答案】60
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵ΔABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴D是BC中点，
∴AD垂直平分BC，
∴PB=PC.
∴PC+PE=PB+PE≥BE，
当B、P、E三点共线时，PC+PE有最小值，
∵点E是AC边的中点，
∴BE⊥AC
∴∠CEP=∠CEB=90°，
∵ΔABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，BE⊥AC，
∴BE平分∠ABC.
∴∠CBE=∠ABC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+ ∠PCB=60°.
故选：60.
【分析】先说明当B、P、E三点共线时，PC+PE有最小值，再说明PE平分∠ABC，求出∠CBE，再利用三角形的外角的性质求出∠CPE.
14．如图，等腰 的周长为36，底边上的高 ，则 的周长为 .
【答案】30
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，AD为底边上的高，
∴AB=AC，BD=DC，
∵△ABC的周长等于36，
∴AB+BD+DC+AC=36，即AB+BD=18，
∵AD=12，
∴△ABD的周长等于=AD+BD+AB=12+18=30.
故答案为：30.
【分析】根据等腰三角形的性质可求得AB+BD=18，再结合AD=12，即可求得 的周长.
15．如图， 中，DE垂直平分BC交BC于点D，交AB于点E， ， ，则 .
【答案】84°
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B=23°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=46°，
∴∠CAE=180°-∠C-∠AEC=180°-50°-46°=84°，
故答案为：84°.
【分析】由垂直平分线的性质，得到△AEB为等腰三角形，从而求出∠BAE，然后由三角形外角的性质求出∠AEC，最后在△ACE中利用三角形内角和定理求∠CAE的度数即可.
16．如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为 ．
【答案】2n﹣1
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．
故答案是：2n﹣1．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．
三、综合题
17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，E在AC边上，且AD＝AE.
（1）若∠BAD＝40°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝15°，求∠BAD的度数；
（3）根据上述两小题的答案，试探索∠EDC与∠BAD的关系.
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝90°﹣ ∠BAC，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°﹣ ∠BAC+40°＝130°﹣ ∠BAC，
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝∠BAC﹣40°，
∴∠ADE＝∠AED＝ （180°﹣∠DAC）＝110°﹣ ∠BAC，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝（130°﹣ ∠BAC）﹣（110°﹣ ∠BAC）＝20°，
故∠EDC的度数是20°
（2）解：∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠EDC，
即∠BAD＝2∠EDC，
∵∠EDC＝15°，
∴∠BAD＝30°.
（3）解：由（2）得∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC＝ ∠BAD.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，代入数据计算即可求出∠BAD的度数；（3）根据（1）（2）的结论猜出即可.
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=60°，BE=2，求△ABC的周长．
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
∴DE=DF
（2）解：∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠B=60°，
∵∠BED=90°，
∴∠BDE=30°，
∴BE= BD，
∵BE=2，
∴BD=4，
∴BC=2BD=8，
∴△ABC的周长为24．
【解析】【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC，AB=AC，求证∠B=∠C．再利用D是BC的中点，求证△BED≌△CFD即可得出结论．（2）根据AB=AC，∠A=60°，得出△ABC为等边三角形．然后求出∠BDE=30°，再根据题目中给出的已知条件即可算出△ABC的周长．
19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
（1）根据作图判断：△ABD的形状是 ；
（2）若BD＝10，求CD的长．
【答案】（1）等腰三角形
（2）解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，
∵DA＝DB＝10，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝ AD＝5．
【解析】【解答】解：（1）由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴△ADB是等腰三角形．
故答案为等腰三角形．
【分析】（1）由作图可知，MN垂直平分线段AB，利用垂直平分线的性质即可解决问题．（2）求出∠CAD＝30°，利用直角三角形30度的性质解决问题即可．
20．如图， 中， ，已知 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 .
（1）如图，观察并猜想 和 有怎样的数量关系？并说明理由.
（2）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形. 如上图，证明四边形 是筝形.
（3）如图，若 ，其他条件不变，求 的长度.
【答案】（1）解： . 理由如下：
∵ 中，
∴
∵
∴ ， ，
∴
∴
在 和 中
∴
∴
∴
∴
（2）证明：由（1）可知
∴ ，
又
∴
在 和 中
∴
∴
又∵
∴四边形 是筝形
（3）解：∵
∴ ，
∴
在 中，
∴
∴
∴
答： 的长度为1
【解析】【分析】（1）根据等边对等角的性质可得∠B=∠C，再根据旋转的性质可得∠BAF=∠C1AE，AB=AC=C1A=AB1，然后利用“角边角”证明△ABF和△C1AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得解；
（2）先利用ASA证明 ，得出 ，再根据筝形的定义即可得证
（3）先根据 得出 ，再根据含 角的直角三角形的性质得出 ，再由 即可得出答案
21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）作出与△ABC关于y轴对称△A1B1C1 ，并写出三个顶点的坐标为：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；
【答案】（1）；（﹣1，1）；（﹣4，2）；（﹣3，4）
（2）解：P（2，0）．
【解析】【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
由图知，A1（﹣1，1），B1（﹣4，2）C1（﹣3，4），
故答案为：﹣1，1；﹣4，2；﹣3，4；（2）解：如图所示，
作出点A关于x轴的对称点A′，再连接A′B，与x轴的交点即为所求点P，其坐标为（2，0）．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）作出点A关于x轴的对称点A′，再连接A′B，与x轴的交点即为所求．
22．利用所学的知识计算：
（1）已知 和 都为正数， ， ，求a+b的值；
（2）已知 ， ， 为等腰△ 的三边的长，若 。求等腰△ 的周长.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 和 都为正数，
∴ ；
（2）解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ；
∵ 是等腰三角形，
当腰为2时，不能构成三角形；
则腰长为9，即 ，
∴等腰△ 的周长为： .
【解析】【分析】（1）利用 ，结合 和 都为正数，即可求出 的值；（2）根据 ，化简得到 ，利用非负性，得到 ， ，再结合等腰三角形的性质，即可求出等腰△ 周长.
23．已知；如图，在△ABC中，
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D.（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在AB上求作一点P，使得PA=PC.（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图，BD为所作
（2）解：如图，点P为所作．
【解析】【分析】（1）如图，以点B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AB，BC于一点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点的长的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点B与两弧的交点画射线交BC于一点，即为点D.
（2）如图，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半为半径画弧，两弧分别交于一点，过这两点画直线交AB于一点，即为点P.
24．在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边在直线的同侧作等边三角形，作得的两个等边三角形的另一顶点分别为D，E两点.连结DE.
（1）如图1所示，连结CD，AE，求证：CD = AE.
（2）如图2所示，若AB = 1，BC = 2，求证：∠BDE = 90°.
（3）如图3所示，将图2中的等边三角形BEC绕点B作适当的旋转，连结AE，若有DE 2 + BE 2 = AE 2，试求∠DEB的度数.
【答案】（1）证明：∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC.
∵AB=BD，∠ABE=∠DBC，BE=BC，
∴△ABE≌△DBC，
∴CD=AE.
（2）证明：如图，取BE的中点F，连接DF.
∵BD=AB=1，BE=BC=2，∠ABD=∠EBC=60°，
∴BF=EF=1=BD，∠DBF=60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴DF=BF=EF，∠DFB=60°.
∵∠BFD=∠FED+∠FDE，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=90°.
（3）解：如图，连接DC，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC.
∵AB=BD，∠ABE=∠DBC，BE=BC，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC.
∵DE2+BE2=AE2，BE=CE，
∴DE2+CE2=CD2，
∴∠DEC=90°.
∵∠BEC=60°，
∴∠DEB=∠DEC-∠BEC=30°.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，进而推出∠ABE=∠DBC，然后根据SAS就可证明
△ABE≌△DBC，进而可得结论CD=AE；
（2）取BE的中点F，连接DF，不难推出△DBF是等边三角形，则可得DF=BF=EF，∠DFB=60°，然后根据三角形外角的性质可得∠BFD=∠FED+∠FDE，进而求出∠FDE、∠FED的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可；
（3）同（1）可证△ABE≌△DBC，则AE=DC，然后可推出∠DEC=90°，最后根据∠DEB=∠DEC-∠BEC计算即可.
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