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第十四章 整式的乘法与因式分解 单元真题练考卷
一、选择题
1．计算(－a3)2的结果是（ ）
A．－a5 B．a5 C．a6 D．－a6
2．下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．下列计算结果为a6的是
A．a3+ a3 B．(a3)3 C．a3·a2 D．a12÷a2
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x+y）（y﹣2x） B．（x+2）（2+x）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x﹣2）（x﹣1）
6．若要使成为一个两数和（差）的平方，则的值应为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则的值为（ ）
A．36 B．49 C．13 D．37
8．已知，，则（ ）
A． B． C．432 D．216
9．小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：、、、、、依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（ ）．
A．勤学 B．爱科学 C．我爱理科 D．我爱科学
10．如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
二、填空题
11．已知，，则=
12．已知．则的值是 ．
13．若a2+b2+4a-6b+13=0，则ab的值为 .
14．分解因式：2a（x－y）－3b（y－x）＝ ．
15．已知 的展开式中不含有 的一次项，则m= ．
16．的结果是 ．
三、综合题
17．已知 ， .求下列各式的值.
（1） ；
（2） .
18．因式分解：
（1）
（2）
19．计算：
（1）化简：
（2）如图， 是四边形 的一个外角，且 ，那么 与 互补吗？为什么？
20．南山植物园中现有A，B两个园区．已知A园区为长方形，长为(x＋y)米，宽为(x－y)米；B园区为正方形，边长为(x＋3y)米．
（1）请用代数式表示A，B两园区的面积之和并化简．
（2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加(11x－y)米，宽减少(x－2y)米，整改后A园区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．
①求x，y的值；
②若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C，D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：
C D
投入(元/米2) 12 16
收益(元/米2) 18 26
求整改后A，B两园区旅游的净收益之和．(净收益＝收益－投入)
21．欢欢与乐乐两人共同计算 ，欢欢抄错为 ，得到的结果为 ；乐乐抄错为 ，得到的结果为 ．
（1）式子中的a、b的值各是多少？
（2）请计算出原题的正确答案．
22．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积 直接用含m，n的代数式表示
方法1：
方法2：
（2）根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式之间的一个等量关系： ；代数式： ， ，mn
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知 ， ，求a-b和 的值．
23．下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=
y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2－4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解.
24．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由是：因为5＝12+22、所以5是“完美数”．
（1）解决问题：
①已知29是“完美数”．请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 ．
②若x2-4x+5可配方成（x-m）2+n（m，n为常数），则mn的值 ．
（2）探究问题：
①已知x2+y2-2x+4y+5＝0，求x+y的值．
②已知S＝x2+4y2+4x-12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
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第十四章 整式的乘法与因式分解 单元真题练考卷
一、选择题
1．计算(－a3)2的结果是（ ）
A．－a5 B．a5 C．a6 D．－a6
【答案】C
【解析】【分析】根据幂的乘方乘方法则：幂的乘方，底数不变指数相乘，即可求解．
【解答】（a3)2=a3×2=a6．
故选：C
【点评】本题主要考查了幂的乘方法则，正确理解法则：幂的乘方，底数不变指数相乘，是解题关键．
2．下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、a+b，a与b不是同类项，无法合并，故错误；
C、，不符合完全平方公式，故错误；
D、3a-2a=a，故错误
故答案为：B
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，熟知这些公式计算方法是解题关键.
3．下列计算结果为a6的是
A．a3+ a3 B．(a3)3 C．a3·a2 D．a12÷a2
【答案】B
【解析】【解答】解：A.a3+a3=2a3；B.（a3）3=a6；C.a3·a2=a5；D.a12÷a2=a10。
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方，运算得到答案即可。
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A. ，还能再进行分解，该项不符合题意；
B. ，分解正确；
C. ，该项不符合题意；
D. ，该项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A选项中等号右边的式子还可继续利用完全平方公式进行分解，据此判断；根据完全平方公式可判断B、C；利用平方差公式可判断D.
5．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x+y）（y﹣2x） B．（x+2）（2+x）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x﹣2）（x﹣1）
【答案】A
【解析】【解答】解：A．根据平方差公式，（2x+y）（y﹣2x）＝可以用平方差公式计算，故符合题意；
B．根据平方差公式，（x+2）（2+x）不可用平方差公式计算，故不符合题意；
C．根据平方差公式，（﹣a+b）（a﹣b）不可用平方差公式计算，故不符合题意；
D．根据平方差公式，（x﹣2）（x﹣1）不可用平方差公式计算，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】平方差公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，可表示为(a+b)(a-b)=a2-b2，据此判断即可.
6．若要使成为一个两数和（差）的平方，则的值应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵为一个完全平方式，
即为一个完全平方式，
∴mx=±2 2x ，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用完全平方公式有两个，可知a2±2ab+b2=（a±b）2，据此可求出m的值.
7．已知，，则的值为（ ）
A．36 B．49 C．13 D．37
【答案】D
【解析】【解答】解：由完全平方公式可得，，
故答案为：D．
【分析】利用配方法将代数式转化为（a+b）2-2ab，再整体代入求值.
8．已知，，则（ ）
A． B． C．432 D．216
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则可得x3a+2b=(xa)3·(xb)2，然后将已知条件代入计算即可.
9．小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：、、、、、依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（ ）．
A．勤学 B．爱科学 C．我爱理科 D．我爱科学
【答案】C
【解析】【解答】解：
∵、、、依次对应的字为：科、爱、我、理，
∴其结果呈现的密码信息可能是我爱理科．
故答案为：C
【分析】先将原式进行因式分解，即可求出答案。
10．如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】A
【解析】【解答】解：∵1=1×1，-9=3×（-3）或-9=9×（-1）或9=1×（-9）且a为整数
∴，
又∵是一个二次三项式，
∴不合题意
∴或
∴
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、十字相乘法进行因式分解，据此即可求解.
二、填空题
11．已知，，则=
【答案】10
【解析】【解答】解：
∵
，
故答案为：10．
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，根据同底数幂的乘法：的逆运算：代入计算即可．
12．已知．则的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】∵ x-=0 ∴ (x-)2=0 ∴ x2-2x·+=0 ∴ x2+2x·+=4 ∴ (x+)2=4 ∴ x+=±2 故答案为：±2 。
【分析】先将x-=0 两边平方，再通过完全平方式变形，最后在开方，即可求得。
13．若a2+b2+4a-6b+13=0，则ab的值为 .
【答案】-8
【解析】【解答】解：a2+b2+4a-6b+13=（a +4a+4）+（b -6b+9）=（a+2） +（b-3）2=0，
∵ ，
∴a+2=0，b-3=0，
∴a=-2，b=3，
∴ab= =-8，
故答案为：-8.
【分析】利用配方法将已知等式转化为（a+2） +（b-3）2=0，利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可求出a，b的值，然后代入代数式求值.
14．分解因式：2a（x－y）－3b（y－x）＝ ．
【答案】（x-y）（2a+3b）
【解析】【解答】解：2a（x-y）-3b（y-x）
=2a（x-y）+3b（x-y）
=（x-y）（2a+3b）．
故答案为：（x-y）（2a+3b）．
【分析】将（x-y）当作整体提取公因式即可。
15．已知 的展开式中不含有 的一次项，则m= ．
【答案】
【解析】【解答】解： = = ，
∵ 的展开式中不含有 的一次项，
∴4m+1=0，
∴m=
故答案是： ．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据结果不含x的一次项，求出m的值。
16．的结果是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
=
故答案为：．
【分析】将原式变形为，再利用平方差公式进行计算即可.
三、综合题
17．已知 ， .求下列各式的值.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：原式
.
【解析】【分析】（1）利用和的完全平方公式展开，代入后变形计算即可；
（2）巧用因式分解法的提取公因式法，把被求代数式用给出的代数式表示，后代入求值即可.
18．因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可；
（2）根据多项式乘以多项式去括号计算，再利用平方差公式计算求解即可。
19．计算：
（1）化简：
（2）如图， 是四边形 的一个外角，且 ，那么 与 互补吗？为什么？
【答案】（1）解：
（2）解： 与 互补，理由如下，
是四边形 的一个外角
与 互补
【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，进行计算求解即可；
（2）先求出∠ABE+∠ABC=180°，再求出∠A+∠C=180°，进行作答即可。
20．南山植物园中现有A，B两个园区．已知A园区为长方形，长为(x＋y)米，宽为(x－y)米；B园区为正方形，边长为(x＋3y)米．
（1）请用代数式表示A，B两园区的面积之和并化简．
（2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加(11x－y)米，宽减少(x－2y)米，整改后A园区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．
①求x，y的值；
②若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C，D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：
C D
投入(元/米2) 12 16
收益(元/米2) 18 26
求整改后A，B两园区旅游的净收益之和．(净收益＝收益－投入)
【答案】（1）解：（x+y）（x﹣y）+（x+3y）（x+3y）
=x2﹣y2+x2+6xy+9y2
=2x2+6xy+8y2（平方米）
答：A、B两园区的面积之和为（2x2+6xy）平方米；
（2）解：（x+y）+（11x﹣y）
=x+y+11x﹣y
=12x（米），
（x﹣y）﹣（x﹣2y）
=x﹣y﹣x+2y
=y（米），
依题意有：
，
解得 9．
12xy=12×30×10=3600（平方米），
（x+3y）（x+3y）
=x2+6xy+9y2
=900+1800+900
=3600（平方米），
（18﹣12）×3600+（26﹣16）×3600
=6×3600+10×3600
=57600（元）．
答：整改后A、B两园区旅游的净收益之和为57600元．
【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A、B两园区的面积，再相加即可求解；（2）①根据等量关系：整改后A区的长比宽多350米；整改后两园区的周长之和为980米，列出方程组求解即可；②代入数据得到整改后A、B两园区的面积之和，再根据净收益=收益-投入，列式计算求解即可。
21．欢欢与乐乐两人共同计算 ，欢欢抄错为 ，得到的结果为 ；乐乐抄错为 ，得到的结果为 ．
（1）式子中的a、b的值各是多少？
（2）请计算出原题的正确答案．
【答案】（1）解：根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为 ，
那么 ，
可得
乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为 ，
可知
即 ，
可得 ，
解关于 的方程组，可得 ，
（2）解：正确的式子：
【解析】【分析】（1）根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为 ，可知 ，于是 ；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为 ，可知常数项是 ，可知 ，可得到 ，解关于 的方程组即可求出a、b的值；（2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的符合题意结果．
22．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积 直接用含m，n的代数式表示
方法1：
方法2：
（2）根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式之间的一个等量关系： ；代数式： ， ，mn
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知 ， ，求a-b和 的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）解： ， ，
，
，
．
【解析】【解答】解：（1）由题意知，阴影部分为一正方形，其边长正好为m-n．根据正方形的面积公式得面积为 ；也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积由图形可得： ；
故答案为 ； ；(2)小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，所以有： ；
【分析】（1）方法一：求出正方形的边长，再根据正方形的面积公式求解即可；方法二：根据大正方形面积减去4个矩形的面积，即可得出答案；（2）根据都表示阴影部分面积，即可求出等式；（3）根据等式和平方差公式求解即可。
23．下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=
y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2－4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解.
【答案】（1）C
（2）不彻底；（x-2）4
（3）解：设x2－2x=y，则：
原式=y（y+2）+1
=y2+2y+1
=（y+1）2
=（ x2－2x+1）2
=（x﹣1）4.
【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，
故答案为：C；
（2）∵x2－4x+4=（x-2）2 ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2）4 ，
故答案为：不彻底，（x-2）4 ；
【分析】（1）根据分解的过程进行判断；
（2）分解结果还可以利用完全平方公式继续分解；
（3）设x2-2x=y，则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1，然后利用完全平方公式分解分解.
24．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由是：因为5＝12+22、所以5是“完美数”．
（1）解决问题：
①已知29是“完美数”．请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 ．
②若x2-4x+5可配方成（x-m）2+n（m，n为常数），则mn的值 ．
（2）探究问题：
①已知x2+y2-2x+4y+5＝0，求x+y的值．
②已知S＝x2+4y2+4x-12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【答案】（1）29＝52+22；2
（2）解：①x2+y2-2x+4y+5＝0，
x2-2x+1+（y2+4y+4）＝0，
（x-1）2+（y+2）2＝0，
∴x-1＝0，y+2＝0，
∴x＝1，y＝-2，
∴x+y＝1-2＝-1；
所以x+y的值为-1；
②当k＝13时，S是完美数，
理由如下：S＝x2+4y2+4x-12y+13
＝x2+4x+4+4y2-12y+9
＝（x+2）2+（2y-3）2，
∵x，y是整数，
∴x+2，2y-3也是整数，
∴S是一个“完美数”．
【解析】【解答】解：（1）解决问题：
①∵29＝52+22，
∴29是“完美数”；
②∵x2-4x+5＝（x2-4x+4）+1＝（x-2）2+1，
又x2-4x+5＝（x-m）2+n，
∴m＝2，n＝1，
∴mn＝2×1＝2；
故答案为：（1）29＝52+22；（2）2；
【分析】（1）①根据“完美数”的定义填空即可；②利用配方法可得x2-4x+5＝（x-2）2+1，然后利用对应系数的值即可求值；
（2）①利用配方法将原式化为（x-1）2+（y+2）2＝0，利用非负数的性质可得x-1＝0，y+2＝0， 据此求出x、y的值，然后代入计算即可；
②利用配方法可得S＝x2+4y2+4x-12y+13＝（x+2）2+（2y-3）2，由于x，y是整数，可得x+2，2y-3也是整数，从而判断出S是完美数.
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