2023-2024学年山东省青岛市即墨区高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省青岛市即墨区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.某校高一、高二、高三的人数之比为：：，从中随机抽取名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为( )
A. B. C. D.
4.如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是( )
A. 数据中可能存在极端大的值 B. 这组数据是不对称的
C. 数据中众数一定不等于中位数 D. 数据的平均数大于中位数
5.已知直线，与平面，，，能使的充分条件是( )
A. ， B. ，，
C. ， D. ，
6.将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称
C. 是的一个零点 D. 是的一个单调减区间
7.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是( )
A. B. C. D.
8.函数的图象如图所示，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，复数，则( )
A. B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第一象限
10.已知向量，满足，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 最大值为
C. 若，则
D. 若，则向量在向量上的投影向量坐标为
11.如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为的正方形，则( )
A. 该几何体的体积为
B. 直线与平面所成角的正切值为
C. 异面直线与的夹角余弦值为
D. 存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据：，，，，，，，，，，，，，的众数为，第三四分位数为，则 ______．
13.从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是______．
14.已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点，设，．
若，，，求与的夹角．
若，
与夹角余弦值；
判断四边形的形状，并说明理由．
16.本小题分
某滑雪场开业当天共有人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．
求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？
由频率分布直方图估计样本平均数
和中位数；求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替
在选取的这人样本中，从年龄不低于岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．
求证：平面；
求四棱锥的体积．
18.本小题分
记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线．
求；
求；
若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值．
19.本小题分
已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得其中，，，，，则称为的“重覆盖函数”
判断，是否为，的“重覆盖函数”，并说明理由；
若，是，的“重覆盖函数”，求的范围；
若，，是，的“重覆盖函数”，求的取值范围．
参考答案
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15.解：，
，
即，
则，
；
，，
，
，
，
即与夹角余弦值为；
，
，且，
四边形为梯形．
16.解：由题意可得：，
则，
所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人．
由题意可得：，
又因为，，
可知，则，解得：．
中的人数：，分别记为，，，；
中的人数：，分别记为，，，
中的人数：，记为，
则任选两人的情况有，，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，共种，
其中来自同一组有，，，，，，
，，，共种，
所以两个人来自同一组的概率为．
17.证明：连结和交于，连结，分
为正方形，为中点，
为中点，，分
平面，平面，
平面分
解：作于，则
平面，？平面，，
为正方形，，
，，？平面，平面，分
，
，平面分
平面，？平面，，
，，分
四棱锥的体积分
18.解：因为点为的中点，所以，
所以，
化简得：，
解得；
在中，由余弦定理得：
，
解得负根舍去，
因为，所以为钝角，
所以，
由正弦定理得：，
即，解得，
因为角为钝角，所以角为锐角，
所以；
连接，
则为线段的垂直平分线，
所以，设，则，，
设，在中，由正弦定理得：，
即，
所以，
因为最大时即为的补角，
而，所以，
所以，
所以，
所以长度最小值．
19.解：，
，
，，
故的值域为，当时，，
此时，，不是的“重覆盖函数”．
，，
的图像如下：
是的“重覆盖函数”，
，
在成立，
．
，
，令，
为的“重覆盖函数”，
即有个零点，
即有个零点，
因为与的图像如下，
当时，，解得：，
当时，，解得：．
综上，要满足题意，所以，
即．
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