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第二十一章 一元二次方程 单元全优测评卷
一、选择题
1．一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣6 B．3，1 C．﹣6，1 D．3，6
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C．3 D．
3．某钢铁厂七月份产钢50吨，九月份的钢产量比八月份的钢产量增加12吨，若平均每月产钢量的增长率相同且为x，则根据题意，列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列一元二次方程一定有两个不相等的实数解的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．方程的根为（ ）
A． B．，
C． D．，
8．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2020年某款新能源车销售量为19万辆，销售量逐年增加，到2022年销售量为25.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程为：（ ）
A．19 (1+ x)2= 25.6 B．19(3+x)2=25.6
C．19(1+2x)2=25.6 D．19+19(1+x)+19(1+ x) 2=25.6
9．方程的两个实数根的和与积分别是（ ）
A．-5，6 B．-4，6 C．4，-6 D．-1，6
10．已知函数 的图像与x轴的交点坐标为 且 ，则该函数的最小值是（ ）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
二、填空题
11．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是 ．
12．当x= 时，代数式x2-8x+12的值是-4．
13．关于x的方程 的根是 ， ，（a，b，m均为常数， ）则关于x的方程 的根是 .
14．一个三角形的两边长分别为6和8，第三边长是方程 的根，则这个三角形的周长为 .
15．某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10 件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为x元/件，可列方程 .（方程不需化简）
16．若a≠b，且 则 的值为
三、综合题
17．解方程：
（1） ．
（2）
18．已知抛物线y=x2-（2m-1）x+m2-m．
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y=x-3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．
19．已知关于x的方程x2+mx+m﹣3＝0.
（1）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
20．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣5）2＝16
（2）x2＝5x
（3）x2﹣4x+1＝0
（4）x2+3x﹣4＝0
21．服装厂准备生产某种样式的服装40000套，分黑色和彩色两种．
（1）若生产黑色服装的套数不多于彩色服装套数的 ，问最多生产多少套黑色服装？
（2）目前工厂有100名工人，平均每人生产400套，由于展品会上此种样式服装大受欢迎，工厂计划增加产量；由于条件发生变化，人均生产套数将减少1.25a%（20＜a＜30），要使生产总量增加10%，则工人需增加2.4a%，求a的值．
22．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．
（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？
（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？
23．已知关于 的一元二次方程
（1）若方程的一个根为 ，求 的值及另一个根；
（2）若该方程根的判别式的值等于 ，求 的值.
24．关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形：
变形 s t p
-1 5 0
0 4 5
1 q 8
2 2 9
回答下列问题：
（1）表格中q的值为 ．
（2）观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为 ．
（3）记的两个变形为和，求的值．
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第二十一章 一元二次方程 单元全优测评卷
一、选择题
1．一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣6 B．3，1 C．﹣6，1 D．3，6
【答案】A
【解析】【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的二次项系数，一次项系数分别是3，﹣6.
故答案为：A.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C．3 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、当a≠0时，方程是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、3整理后为3x+13=0不是一元二次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
3．某钢铁厂七月份产钢50吨，九月份的钢产量比八月份的钢产量增加12吨，若平均每月产钢量的增长率相同且为x，则根据题意，列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：某钢铁厂七月份产钢50吨，平均每月产钢量的增长率相同且为x，
八月份的钢产量为：吨；
八月份的钢产量为：吨；
九月份的钢产量比八月份的钢产量增加12吨，
；
故答案为：B．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
4．下列一元二次方程一定有两个不相等的实数解的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：时，方程有两个不相等的实数解，
A、，选项不符合题意；
B、，选项不符合题意；
C、，选项符合题意；
D、，选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
5．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
则，即，
故答案为：D．
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法求解即可。
6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
依题意可列方程：
故答案为：C．
【分析】设每个支干长出x个小分支，根据“ 主干、支干、小分支的总数是111”列出方程即可.
7．方程的根为（ ）
A． B．，
C． D．，
【答案】B
【解析】【解答】解：由，得，
解得；
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
8．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2020年某款新能源车销售量为19万辆，销售量逐年增加，到2022年销售量为25.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程为：（ ）
A．19 (1+ x)2= 25.6 B．19(3+x)2=25.6
C．19(1+2x)2=25.6 D．19+19(1+x)+19(1+ x) 2=25.6
【答案】A
【解析】【解答】解：设年平均增长率为x，
根据题意得19（1+x）2=25.6.
故答案为：A.
【分析】设年平均增长率为x，得出2021年销售量为19（1+x）万辆，2022年销售量为19（1+x）2万辆，再根据到2022年销售量为25.6万辆，列出方程即可.
9．方程的两个实数根的和与积分别是（ ）
A．-5，6 B．-4，6 C．4，-6 D．-1，6
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：方程 即方程 的两个实数根的和与积分别是4、-6，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
10．已知函数 的图像与x轴的交点坐标为 且 ，则该函数的最小值是（ ）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
【答案】D
【解析】【解答】∵函数y=4x2-4x+m的图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∴x1与x2是4x2-4x+m=0的两根，
∴4x12-4x1+m=0，x1+x2=1，x1 x2= ，
∴4x12=4x1-m，
∵（x1+x2）（4x12-5x1-x2）=8，
∴（x1+x2）（4x1-m-5x1-x2）=8，
即（x1+x2）（-m-x1-x2）=8，
∴1 （-m-1）=8，解得m=-9，
∴抛物线解析式为y=4x2-4x-9，
∵y=2（x- ）2-10，
∴该函数的最小值为-10．
故答案为：D．
【分析】函数 y = 4 x 2 4 x + m 的图像与x轴的交点坐标为 ( x 1 ， 0 ) ( x 2， 0 )即为方程4x2-4x+m=0的两根，再由根于系数的关系可得x1+x2=1，x1 x2= 代入( x 1 + x 2 ) ( 4 x 12 5 x 1 x 2 ) = 8最终化为关于m的方程，解得m=-9，这样我们得到了抛物线解析式为y=4x2-4x-9最后化为顶点式，求得最小值为-10
二、填空题
11．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是 ．
【答案】2或﹣1
【解析】【解答】解：
∵x2﹣x﹣2=0
∴（x﹣2）（x+1）=0
∴x1=2，x2=﹣1
【分析】用十字相乘法，将方程的左边分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
12．当x= 时，代数式x2-8x+12的值是-4．
【答案】4
【解析】【解答】解：由题意得
x2-8x+12=-4，
∴x2-8x+16=0，
∴△=(-8)2-4×1×16=0，
∴ ，
∴ 时，代数式x2-8x+12的值是-4
【分析】根据题意列出方程，利用公式法解方程，首先算出根的判别式的值，根据根的判别式的值大于0，然后直接利用求根公式即可得出该方程的根，从而得出答案。
13．关于x的方程 的根是 ， ，（a，b，m均为常数， ）则关于x的方程 的根是 .
【答案】 ，
【解析】【解答】解： 方程 的根是 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴6与－5是 的两个根，
∴方程 的根是 ， .
故答案为： ， .
【分析】根据方程根的概念可得m(5+a)2+b=0，m(-6+a)2+b=0，变形可得m(6+a-1)2+b=0，m(-5+a-1)2+b=0，据此不难得到方程的根.
14．一个三角形的两边长分别为6和8，第三边长是方程 的根，则这个三角形的周长为 .
【答案】18
【解析】【解答】解：解方程 ，
得：
∵ ，
∴ （舍），
∴该三角形第三条边长为4，
∴该三角形周长为 .
故答案为：18.
【分析】首先利用因式分解法求出方程的解，然后根据三角形的三边关系确定出第三边长，进而可得周长.
15．某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10 件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为x元/件，可列方程 .（方程不需化简）
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可知：销售件数为： [] 件，销售一件所获的利润为： 元，
∴ ，
故答案为： .
【分析】 设销售单价定为x元/件， 根据题意先求出销售件数为 [] 件，销售一件所获的利润为 元，再根据商店可获利3000元，列出方程即可.
16．若a≠b，且 则 的值为
【答案】1
【解析】【解答】由题意知：a、b是方程， 的两个不相等的实数根，
∴a+b=4，ab=1，
∵ ，
∴ ，
∴ = .
故填：1.
【分析】由 ，得到 的两个根，由此根据根与系数的关系即可解答.
三、综合题
17．解方程：
（1） ．
（2）
【答案】（1）解： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得：
（2）解： ，
移项整理得： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： ．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法进行解方程；
（2）先对等号右边的式子提取公因式3，再进行移项，然后提取公因式进行因式分解，进而求解.
18．已知抛物线y=x2-（2m-1）x+m2-m．
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y=x-3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．
【答案】（1）证明：令y=0得：x2-（2m-1）x+m2-m=0，
∵△=（2m-1）2-4（m2-m）×1
=（4m2-4m+1）-（4m2-4m）
=1＞0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴原抛物线与x轴有两个不同的交点.
（2）解：令x=0，根据题意有：m2-m=-3m+3，
解得m=-3或1.
【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得出一元二次方程有两个不同的解，根据根的判别式可证得。
（2）可令x=0，代入方程，解出m的值即可。
19．已知关于x的方程x2+mx+m﹣3＝0.
（1）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
【答案】（1）解：将x＝2代入方程x2+mx+m﹣3＝0得4+2m+m﹣3＝0，解得m＝﹣ ，
方程为x2﹣ x﹣ ＝0，即3x2﹣x﹣10＝0，
解得x1＝- ，x2＝2
故答案为：m＝﹣ ，另一个根为-
（2）解：∵△＝m2﹣4（m﹣3）
＝m2﹣4m+12
＝（m﹣2）2+8＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根
【解析】【分析】（1）由题意把x=2代入原方程可得关于m的方程，解方程可求得m的值，把m的值代入原方程，解关于x的一元二次方程即可求解；
（2）计算b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。"即可判断求解.
20．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣5）2＝16
（2）x2＝5x
（3）x2﹣4x+1＝0
（4）x2+3x﹣4＝0
【答案】（1）解：∵（x﹣5）2＝16
∴x﹣5＝±4，
解得，x1＝9，x2＝1
（2）解：∵x2＝5x
∴x2﹣5x＝0
∴x（x﹣5）＝0，
解得，x1＝0，x2＝5
（3）解：∵x2﹣4x+1＝0
∴x2﹣4x＝﹣1
∴（x﹣2）2＝3
∴x﹣2＝± ，
解得，x1＝2+ ，x2＝2﹣
（4）解：∵x2+3x﹣4＝0
∴（x+4）（x﹣1）＝0
∴x+4＝0或x﹣1＝0
解得，x1＝﹣4，x2＝1．
【解析】【分析】（1）直接开平方法。
（2）先移项，然后提取公因式法。
（3）配方法，然后直接解方程。
（4）因式分解十字交叉法。
21．服装厂准备生产某种样式的服装40000套，分黑色和彩色两种．
（1）若生产黑色服装的套数不多于彩色服装套数的 ，问最多生产多少套黑色服装？
（2）目前工厂有100名工人，平均每人生产400套，由于展品会上此种样式服装大受欢迎，工厂计划增加产量；由于条件发生变化，人均生产套数将减少1.25a%（20＜a＜30），要使生产总量增加10%，则工人需增加2.4a%，求a的值．
【答案】（1）解：设生产黑色服装x套，则彩色服装为（40000-x）套，由题意得： ，解得： ，∴最多生产黑色服装8000套
（2）解：40000（1+10％）=400（1-1.25a％）100（1+2.4a％），设t=a％，化简得： ，解得： （舍）， ，∴a％= ，∴a=25．
【解析】【分析】（1） 设生产黑色服装x套，则彩色服装为（40000-x）套 ，根据 生产黑色服装的套数不多于彩色服装套数的 列出不等式组，求解得出x的取值范围，再找出x的最大整数解即可；
（2）生产这种服装的总量为： 40000（1+10％） 套，平均每个工人生产的数量为 400（1-1.25a％） 套，工人的总量为 100（1+2.4a％） 名，由每名工人的生产量乘以工人的数量等于总生产量，列出方程，求解并检验即可。
22．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．
（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？
（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？
【答案】（1）解：设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 （80﹣x）米．
依题意，得x （80﹣x）=750．
即，x2﹣80x+1500=0，
解此方程，得x1=30，x2=50．
∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去．
当x=30时， （80﹣x）= ×（80﹣30）=25，
所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2
（2）解：不能．
因为由x （80﹣x）=810得x2﹣80x+1620=0．
又∵b2﹣4ac=（﹣80）2﹣4×1×1620=﹣80＜0，
∴上述方程没有实数根．
因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2
【解析】【分析】（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 （80﹣x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．（2）假使矩形面积为810，则x无实数根，所以不能围成矩形场地．
23．已知关于 的一元二次方程
（1）若方程的一个根为 ，求 的值及另一个根；
（2）若该方程根的判别式的值等于 ，求 的值.
【答案】（1）解：设方程的另一根是x2.
∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3，
∴x=3是原方程的解，
∴9m﹣（m+2）×3+2=0，
解得m= ；
又由韦达定理，得3×x2= ，
∴x2=1，即原方程的另一根是1
（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1
∴m=1，m=3.
【解析】【分析】（1）由题意把x=3代入原方程可得关于m的方程，解方程可求得m的值； 设方程的另一根是x2. 根据一元二次方程的根与系数的关系可得 3×x2=可得关于x2的方程，解方程即可求解；
（2）计算b2-4ac的值，由题意可得关于m的方程，解方程即可求解.
24．关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形：
变形 s t p
-1 5 0
0 4 5
1 q 8
2 2 9
回答下列问题：
（1）表格中q的值为 ．
（2）观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为 ．
（3）记的两个变形为和，求的值．
【答案】（1）3
（2）s+t=4
（3）解：由（2）的结论得到 ， ，
所以 ，即 ，
∴ ．
【解析】【解答】（1）解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∴q=3；
故答案为：3
（2）解：观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为 ；
故答案为：
【分析】（1）把原方程化为，然后将方程左边分解因式即可求解；
（2）利用表格中的数据得到s+t的值等于一次项系数的相反数；
（3）由（2）的结论得到 ， ，可求出 ， 从而求解.
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