2023-2024学年广东省广州二中高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省广州二中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么集合( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为，如果在前个小时消除了的污染物，那么污染物减少需要花的时间为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
4.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
5.若函数，的部分图象如图所示，则、的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
8.函数的定义域为，若与都是奇函数，则( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. D. 是奇函数
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列选项中正确的是( )
A. 的最小正周期是
B. 在上单调递减
C. 满足
D. 的图象可以由的图象向右平移个单位得到
10.下列说法正确的有( )
A. 函数关于点对称
B. 函数的图象过定点
C. 方程在区间上有且只有个实数解
D. 若，则的最小值为
11.已知函数，且，，，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递减
C. D.
12.已知正数、、满足，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ______．
14.已知函数，，则 ．
15.若，则 ______．
16.设是定义在上的奇函数，且当时，，则关于的不等式的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，．
求的值；
求的值．
18.本小题分
设函数．
若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
若关于的方程在有实数解，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数．
在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图请先列表，再描点连线；
若，求的值．
20.本小题分
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间小时成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为，其中为常数，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题
从药物释放开始，每立方米空气中的含药量毫克与时间小时之间的函数关系式．
据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．
21.本小题分
若函数且是定义在上的奇函数．
判断的单调性，并证明；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数，．
解关于的不等式；
若关于的方程有三个实根．
求；
求的取值范围．
参考答案
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17.解：将，两边平方得：，
，
则，
，
，，即，
则；
由已知条件及可知，
解得：
则．
18.解：，
因为，
根据二次函数的性质可知，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，
若对一切实数恒成立，则，解得
故实数的取值范围为；
若关于的方程在有实数解，
则在有实数解，
当时，，
根据二次函数的性质可知，当或时，取得最大值，
当时，取得最小值，
故实数的取值范围为．
19.解：
，
列表如下：
描点，连线，可得函数图像如下：
因为，
可得，即，
所以
．
20.解：由于图中直线的斜率为，
所以图象中线段的方程为，
又点在曲线上，所以，
所以，因此含药量毫克与时间小时之间的函数关系式为
，
因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于毫克，学生也不能进入教室，
所以，只能当药物释放完毕，室内药量减少到毫克以下时学生方可进入教室，即，
解得
所以从药物释放开始，至少需要经过小时，学生才能回到教室．
21.解：因为函数且是定义在上的奇函数，
所以，
解得舍或，
所以，
所以在为增函数，证明如下：
任取，
则，
因为，
所以，，
又因为，，
所以，，
即，，
所以在上单调递增，
又因为为奇函数，
所以在上单调递增；
，
因为，
所以，
所以，
令，则，
则有，
令，
易知，在上单调递增，
所以，
所以的取值范围为：．
22.解：由函，，
当时，令，
设，则，此时，
由，即，即，可得，解得，
所以的解集为；
当时，令，
由，可得，即，
可得，解得，此时不等式的解集为，
综上，不等式的解集为．
由函，，则定义域为，
由得，当时，；当时，，
令，
又由关于的方程，
即有三个实根，
当时，可得，解得，
因为，解得，
再由，可得，
解得，．
由知，其中，
可得，则，
设，
则在上为单调递减函数，
当时，，且，
所以的取值范围为．
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