中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章 圆 单元同步检测培优卷
一、选择题
1．若⊙O的半径是5 cm，点A在⊙O内，则OA的长可能是（ ）
A．2 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
2．如图，⊙O的弦AB＝16，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的直径等于（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
3．如图， 的半径为13，弦AB的长为24，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角 ， ， ， 的度数之比可能是（ ）
A．3：1：2：5 B．1：2：2：3 C．2：7：3：6 D．1：2：4：3
5．如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 的坐标分别为 ， ， ，则以 、 、 为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为 ）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个如图所示区域，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后区域的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能做无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能做两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
8．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点E、D，设∠C=α，∠A=β，则（ ）
A．若α+β=70°，则弧DE的度数为20°
B．若α+β=70°，则弧DE的度数为40°
C．若α-β=70°，则弧DE的度数为20°
D．若α-β=70°，则弧DE的度数为40°
9．如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
10．如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（ ）
A．S1＝ S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1＞S2
二、填空题
11．如图，MN为⊙O的弦，∠M=55°，则∠MON的度数是
12．如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心点，另一边所在直线与半圆相交于点D，E.已知半径，弦，则直尺的宽为 .
13．在半径为3cm的⊙O中，若弦AB=3 ，则弦AB所对的圆周角度数为 .
14．如图，四边形APBC内接于⊙O，∠APB＝120°，PC平分∠APB，若PB＝3，PA＋PC＝7，则PC＝ .
15．如图，AB是半圆O的直径，且AB=4，∠BAC＝30°，则 的长为 .
16．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8 ，则另一直角边AE的长为 ．
三、综合题
17．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
19．如图， 是 的直径， 是 的切线，切点为A， 交 于点D，点E是 的中点.
（1）试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 的半径为2， ， ，求图中阴影部分的周长.
20．如图在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.
（1）请完成如下操作：
①以点O为坐标原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，只借助直尺确定该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD.(保留作图痕迹，不写作法)
（2）请在(1)的基础上，完成下列填空与计算：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径= ；(结果保留根号)
③求扇形ADC的面积.(结果保留π)
21．如图，两个圆都是以 为圆心．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，小圆的半径为 ，求大圆的半径 的值．
22．如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F. BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：∠BAD=∠PCB；
（2）求证：BG//CD；
（3）设△ABC外接圆的圆心为O，连接OD，OH，若弦BC的长等于圆的半径，∠COD＝20°，求∠OHD的度数．
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P′，当点P′在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A（1，0），B（0，2），C（3，3）
（1）当⊙O的半径为1时，点A，B，C中是⊙O“友好点”的是 ；
（2）已知点M在直线y＝﹣ x+2 上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值范围；
（3）已知点D ，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T（t，﹣1），半径为1，若在△BCD上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．
24．如图⊙O半径为r，锐角△ABC内接于⊙O，连AO并延长交BC于D，过点D作DE⊥AC于E．
（1）如图1，求证：∠DAB＝∠CDE；
（2）如图1，若CD＝OA，AB＝6，求DE的长；
（3）如图2，当∠DAC＝2∠DAB时，BD＝5，DC＝6，求r的值；
（4）如图3，若AE＝AB＝BD＝1，直接写出AD＋DE的值（用含r的代数式表示）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章 圆 单元同步检测培优卷
一、选择题
1．若⊙O的半径是5 cm，点A在⊙O内，则OA的长可能是（ ）
A．2 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
【答案】A
【解析】【解答】解：∵r=5cm,
点A在⊙O内，
∴d<5cm,
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系可知，当dr时，点在圆外.
2．如图，⊙O的弦AB＝16，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的直径等于（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OA，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB，且AM= =8，
在Rt△OAM中，OA= =10，
∴圆的直径为20.
故答案为：C.
【分析】连接OA，即可证得△OMA是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长，即⊙O的半径.
3．如图， 的半径为13，弦AB的长为24，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【解析】【解答】解：过O作 于 ，此时线段 的长最短，连接OA，
过点O， ，
，
在 中，由勾股定理得： .
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短的性质，过O作 于 ，此时线段 的长最短，连接OA，由垂径定理求出AM'的长度，然后由勾股定理求出OM'的长度.
4．若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角 ， ， ， 的度数之比可能是（ ）
A．3：1：2：5 B．1：2：2：3 C．2：7：3：6 D．1：2：4：3
【答案】D
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是圆内接四边形，
即 比值的和与 比值的和份数相等，
故A、B、C均不符合题意；
， ， ， 的度数之比可能是 ，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】由圆内接四边形的性质可知，其对角互补，据此可知两组对角的比值的和份数相等，据此分别判断即可.
5．如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 的坐标分别为 ， ， ，则以 、 、 为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】如图，作弦 、 的垂直平分线，
∵点 、 、 的坐标分别为 ， ， ，
所以弦 ，弦 ，
∴弦 的垂直平分线与 轴相交于点 ，弦 的垂直平分线与 轴相交于点 ，
∴两条垂直平分线的交点 即为三角形外接圆的圆心，且 点的坐标是 .
故答案为： .
【分析】作弦 、 的垂直平分线， 根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心， 然后根据弦 的垂直平分线与 轴与弦 的垂直平分线与 轴的交点即可得出三角形外接圆的圆心．
6．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为 ）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个如图所示区域，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后区域的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，
∴∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG=GM=1（m），
同理可证：AF=EF=1（m）
∴AB=BG+GF+AF=1×3=3（m），
∴扩建后菱形区域的周长为3×4=12（m），
故答案为：B.
【分析】 根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG＝GM＝1m，同理可证出AF＝EF＝1m，再根据AB＝BG＋GF＋AF，求出AB的长，则扩建后菱形区域的周长可求解.
7．下列说法错误的是（ ）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能做无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能做两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
【答案】C
【解析】【解答】解：A. 已知圆心和半径可以作一个圆，不符合题意；
B. 经过一个已知点A的圆能做无数个，不符合题意；
C. 经过两个已知点A，B的圆能做无数个，符合题意；
D. 经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据确定圆的条件依次判断即可．
8．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点E、D，设∠C=α，∠A=β，则（ ）
A．若α+β=70°，则弧DE的度数为20°
B．若α+β=70°，则弧DE的度数为40°
C．若α-β=70°，则弧DE的度数为20°
D．若α-β=70°，则弧DE的度数为40°
【答案】B
【解析】【解答】解：连接BD，
设弧DE的度数是x，
则∠DBC＝x，
∵AD是直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ADB＝90° β，
∵∠ADB＝∠α＋∠DBC，
∴90° β＝α＋x，
解得：x＝180° 2（α＋β），
∴DE的度数是180° 2（α＋β），
A、当α＋β＝70°时，
弧DE的度数是180° 140°＝40°，故A不符合题意；
B、当α＋β＝70°时，
弧DE的度数是180° 140°＝40°故B符合题意；
C、当α β＝70°即α＝70°＋β时，
弧DE的度数是180° 2（70°＋β＋β）＝40° 4β或180° （α＋α 70°）＝250° 2α，故C不符合题意；
D．当α β＝70°时，
弧DE的度数是40° 4β或250° 2α，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，因此连接BD，可得到∠ABD＝90°，设弧DE的度数是x，可表示出∠DBC的度数；再利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质可推出90° β＝α＋x，可表示出x；然后分别将α+β=70°和α-β=70°分别代入可得到弧DE的度数，由此可得正确结论的选项.
9．如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：连接OQ，
∵PQ且圆O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∵PQ=，
∵OQ为定值1，
∴当OP最小时，PQ的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，
∵在中，，，，
∴tan60°=，
∴OB=2，
∴AB=，
∴，
∴OP=3，
∴PQ==.
故答案为：A。
【分析】连接OQ，根据切线的性质可得∠OQP=90°，从而根据勾股定理可得PQ=，根据圆的半径OQ为定值，可得出当当OP最小时，PQ的值最小，然后根据垂线段最短即可得出op的最小值，进一步求得此时PQ的长度，也就是PQ的最小值。
10．如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（ ）
A．S1＝ S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1＞S2
【答案】D
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为2，
∴S1=6××2×=6=，
∵=8，
∴S2=×8×2=8=，
∵，
∴S1>S2.
故答案为：D.
【分析】设正六边形的边长为2，分别求出正六边形的面积和扇形的面积，然后比较即知关系.
二、填空题
11．如图，MN为⊙O的弦，∠M=55°，则∠MON的度数是
【答案】70°
【解析】【解答】解：∵OM与ON都是半径，
∴∠M=∠N.
∵MN为⊙O的弦，∠M=55°，
∴∠MON=180°-2∠M=70°.
故答案为：70°.
【分析】先说明∠M=∠N，再利用三角形的内角和求解.
12．如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心点，另一边所在直线与半圆相交于点D，E.已知半径，弦，则直尺的宽为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点O作OC⊥DE于点C，连接DO，
∵OC⊥DE，
∴∠OCD=90°，DC=DE=4，
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
即直尺的宽为3cm.
故答案为：3cm.
【分析】如图，过点O作OC⊥DE于点C，连接DO，由垂径定理得∠OCD=90°，DC=DE=4，在Rt△OCD中，由勾股定理算出OC的长，即可得出答案.
13．在半径为3cm的⊙O中，若弦AB=3 ，则弦AB所对的圆周角度数为 .
【答案】45°或135°
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴劣弧AB的度数是 ，优弧AB的度数是 ，
∴弦AB所对的圆周角是45°或135°.
故答案是：45°或135°.
【分析】如图所示，连接OA、OB，根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，劣弧AB的度数是 ，优弧AB的度数是 ，从而求出弦AB所对的圆周角是45°或135°.
14．如图，四边形APBC内接于⊙O，∠APB＝120°，PC平分∠APB，若PB＝3，PA＋PC＝7，则PC＝ .
【答案】5
【解析】【解答】解：如图示：过 点作 交 于点 ，延长 ，过 点作 交 延长线于点 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴
∴ 是等边三角形
∴
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，即： ，
化简得： ，
∵
∴ ，
∴ ，即： ，
化简得： ，
即有 ，解之得： ，
即： ，
故答案是：5.
【分析】如图示：过 点作 交 于点 ，延长 ，过 点作 交 延长线于点 ，先证△BAC是等边三角形，可得BC=AC，根据HL可证Rt△DBC≌Rt△AFC，可得BD=AF，设 ， ，可得，，根据角平分线的性质可得PD=PF，即得；利用∠DCP=30°，可得 ，即，据此可求出b值，即得结论.
15．如图，AB是半圆O的直径，且AB=4，∠BAC＝30°，则 的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵OC=OA，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠COB=∠A+∠C=30°+30°=60°，
∴ 的长为.
故答案为：.
【分析】利用等腰三角形的性质可求出∠C的度数，利用三角形的外角的性质求出∠COB的度数；然后利用弧长公式可求出弧AC的长。
16．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8 ，则另一直角边AE的长为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，
∵∠AED=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∵正方形ABCD的对角线交于点O，
∴∠AOD=90°，OA=OD，
∴∠AOD+∠AED=180°，
∴点A，O，D，E共圆，
∴ = ，
∴∠AEO=∠DEO= ∠AED=45°，
∴OM=ON，
∴四边形EMON是正方形，
∴EM=EN=ON，
∴△OEN是等腰直角三角形，
∵OE=8 ，
∴EN=8，
∴EM=EN=8，
在Rt△AOM和Rt△DON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），
∴AM=DN=EN﹣ED=8﹣6=2，
∴AE=AM+EM=2+8=10．
故答案为：10．
【分析】过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，先证四边形EMON是正方形，得出EM=EN=ON，即可求得EM=EN=8，再证明Rt△AOM≌Rt△DON，求出AM的长，即可得到AE的长。
三、综合题
17．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．
【答案】（1）解：A（0，4）、C（3，1）
（2）解：如图
（3）解：
= ．
【解析】【分析】平面直角坐标系根据点的位置写出点的横纵坐标；根据旋转的性质，可画出旋转后的图像；求平面直角坐标系点的轨迹即求弧AA′的弧长。
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【答案】（1）证明：过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B=90°，
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD=DF，
∴AC与圆D相切；
（2）解：在△BDE和△DCF中；
∵BD=DF，DE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB=FC．
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC，
∴AC=5+3=8
【解析】【分析】（1）先过点D作DF⊥AC于F，然后根据角平分线的性质证明DF的长等于半径，即可证明AC与圆D相切；（2）根据（1）的结论证明△BDE和△DCF全等，运用线段的等量代换即可求得AC的长度。
19．如图， 是 的直径， 是 的切线，切点为A， 交 于点D，点E是 的中点.
（1）试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 的半径为2， ， ，求图中阴影部分的周长.
【答案】（1）解：直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOE和△DOE中
∵OA=OD
∠1=∠2
OE=OE，
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵DE、AE是⊙O的切线，
∴DE=AE，
∵点E是AC的中点，
∴DE=AE= AC=2.5，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴阴影部分的周长= ．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠OAC=90°， 再利用SAS证明 △AOE≌△DOE ，最后证明即可；
（2）先求出 DE=AE， 再求出DE=2.5，最后利用弧长公式计算求解即可。
20．如图在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.
（1）请完成如下操作：
①以点O为坐标原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，只借助直尺确定该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD.(保留作图痕迹，不写作法)
（2）请在(1)的基础上，完成下列填空与计算：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径= ；(结果保留根号)
③求扇形ADC的面积.(结果保留π)
【答案】（1）解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
（2）（6，2）；（2，0）；；解：∵AD=CD，AO=DF=4，OD=CF=2， ∴△AOD≌△DFC， ∴∠ADO=∠DCF， ∴∠ADO+∠CDF=∠DCF +∠CDF=90°， 则∠ADC=90°， ∴S扇形ADC= 故答案为：（2）①（6，2）；（2，0）；② ，③ .
【解析】【解答】解：（2）①根据图形得：C（6，2），D（2，0）；
②在Rt△AOD中，OA＝4，OD＝2，
根据勾股定理得：AD＝ ，
则⊙D的半径为 ；
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心D，连接AD，CD；（2）①根据第一问画出的图形即可得出C及D的坐标；②在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径；③求出∠ADC-90°，再根据扇形面积公式即可求解.
21．如图，两个圆都是以 为圆心．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，小圆的半径为 ，求大圆的半径 的值．
【答案】（1）证明：如图所示，作 于E，
由垂径定理，得：
， ，
∴ ，
即 ；
（2）解：如图所示：
连接OD，OB，
∵AB=10，
∴BE=AE=5，DE=5-2=3，
在Rt△OBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得：
， ，
∴ = ，
即 ，
解得： .
∴大圆的半径为 .
【解析】【分析】（1）作 ，由垂径定理得AE=BE，CE=DE，即可得到AC=BD；（2）连接OB，OD，由AB=10，则BE=5，由勾股定理，得 ， ， ，即可求出大圆半径.
22．如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F. BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：∠BAD=∠PCB；
（2）求证：BG//CD；
（3）设△ABC外接圆的圆心为O，连接OD，OH，若弦BC的长等于圆的半径，∠COD＝20°，求∠OHD的度数．
【答案】（1）证明：∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB；
（2）证明：由（1）得∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（3）解：连接OB，由（2）可得：点O在AC的中点.
∵弦BC的长等于圆的半径
∴△OBC为等边三角形
∴∠OCB=60°
由（2）得：∠ABC=90°，
∴∠BAC=30°
∵∠COD=20°
∴∠ODA=∠OAD= ∠COD=10°
∴∠ADE=90°-30°-10°=50°
∴∠ODH=∠ADH-∠ADO=40°
由（2）得：DF∥BC，BG∥CD
∴四边形DHBC为平行四边形
∴DH=BC=OD
∴∠OHD=
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；（2）由（1）得∠BAD=∠PCB，结合等腰三角形的性质及同弧所对的圆周角相等可得∠BFD=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，根据圆周角定理得到AC是⊙O的直径，可证∠ADC=∠AGB=90°，即可得证；（3）连接OB，由（2）可得点O在AC的中点.由弦BC的长等于圆的半可得三角形OBC为等边三角形，∠OCB=60°，则∠BAC=30°，因为∠COD=20°，故可求得∠ODA=∠OAD=10°，则∠ADH=50°，求得∠ODH=40°，由（2）可证四边形DHBC为平行四边形，所以DH=BC=OD，即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠OHD
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P′，当点P′在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A（1，0），B（0，2），C（3，3）
（1）当⊙O的半径为1时，点A，B，C中是⊙O“友好点”的是 ；
（2）已知点M在直线y＝﹣ x+2 上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值范围；
（3）已知点D ，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T（t，﹣1），半径为1，若在△BCD上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．
【答案】（1）①B
（2）解：如图，
设M（m，﹣ m+2 ），根据“友好点”的定义
∴OM＝
整理，得2m2﹣2 m≤0
解得0≤m≤ ；
∴点M的横坐标m的取值范围：0≤m≤ ；
（3）解：∵B（0，2），C（3，3），D ，⊙T的圆心为T（t，﹣1），点N是⊙T“友好点”
∴NT≤2r＝2，
∴点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点H．
易知∠BDO＝30°，
∴∠OBD＝60°，
∴NT＝ HT，
∵B（0，2），D ，
∴直线BD：y＝﹣ x+2，H（t，﹣ t+2 上），
∴HT＝﹣ t+2﹣（﹣1）＝﹣ t+3，
∴NT＝ HT＝ （﹣ t+3）＝﹣ t+ ，
∴﹣ t+ ≤2，
∴t≥﹣4+ ，
当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t＝ ，
此时点N不是“友好点”，
∴t＜ ，
故圆心T的横坐标t的取值范围：﹣4+ ≤t＜ ．
【解析】【解答】解：（1）①∵r＝1
∴根据“友好点”的定义，OB＝2r＝2
∴点B是⊙O“友好点”
OC＝3 >2r，不是⊙O“友好点”
A（1，0）在⊙O上，不是⊙O“友好点”
故答案为B；
【分析】（1）①根据“友好点”的定义，OB＝2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；
②设M（m，﹣ m+2 ），根据“友好点”的定义，OM＝ ，解得0≤m≤ ；（2）B（0，2），C（3，3），D ，⊙T的圆心为T（t，﹣1），点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT＝ HT，直线BD：y＝﹣ x+2，H（t，﹣ t+2 上），HT＝﹣ t+2﹣（﹣1）＝﹣ t+3，NT＝ HT＝ （﹣ t+3）＝﹣ t+ ，解出t的范围．
24．如图⊙O半径为r，锐角△ABC内接于⊙O，连AO并延长交BC于D，过点D作DE⊥AC于E．
（1）如图1，求证：∠DAB＝∠CDE；
（2）如图1，若CD＝OA，AB＝6，求DE的长；
（3）如图2，当∠DAC＝2∠DAB时，BD＝5，DC＝6，求r的值；
（4）如图3，若AE＝AB＝BD＝1，直接写出AD＋DE的值（用含r的代数式表示）
【答案】（1）证明：如图，延长AD交⊙O于F，连接BF，
∴∠C＝∠F，
∵AF为直径，DE⊥AC，
∴∠ABF＝∠DEC＝90°，
∴∠DAB=90°-∠F，∠CDE＝90°-∠C，
∴∠DAB=∠CDE.
（2）解：如图，作ON⊥AB，
∴∠ANO＝∠DEC＝90°，
∵AB＝6，
∴AN＝3，
又∵AO＝CD， ∠DAB＝∠CDE，
∴△ANO≌△DEC（AAS），
∴DE＝AN＝3.
（3）解：如图，作AG⊥BC于点G，DH⊥AB于点H，
∴∠AGC＝∠DEC＝90°，∠C＝∠C，
∴∠GAC＝∠CDE＝∠DAB，
又∵∠DAC＝2∠DAB，
∴∠DAB＝∠DAG＝∠GAC，
∴可得△ADH≌△ADG≌△ACG，
又∵DC＝6，
∴DH＝DG＝GC＝3，
在中， ，
设AH=AG=x，在Rt中，，解得x=6，
∴AB=10，
延长AD交⊙O于F，连接BF，
∠F＝∠C=∠ADC=∠BDF，
∴BF=BD=5，
在Rt中，，
∴.
（4）解：或或或可以化成以上三种表达式的任一种均可．
【解析】【解答】解：（4）如图，延长AD交⊙O于点F，作CG⊥AF于点G，连接EG交DC于点H，连接BF，
∵AB=DB，
∴∠BAD=∠ADB，
∵∠CDG=∠ADB，∠EDC=∠BAD，
∴∠EDC=∠GDC，
∴∠ECD=∠GCD，
∴DE=DG，
∴AD+DE=AD+DG=AG，EF⊥DC，∠DGH =∠DEH，
∵∠DEH+∠HEC=∠ECH+∠HEC=90°，
∴∠ECH=∠DEH=∠DGH，
∵∠BFD=∠ECH，
∴∠BFD=∠AGE，
∵∠FBD=∠GAE，BD=AE，
∴△BDF≌△AGE(AAS)，
∴AG=BF，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ABF=90°，
∴BF===，
∴AD+DE=.
【分析】（1）延长AD交⊙O于F，连接BF，根据圆周角定理即角的互余关系，即可证明结论；
（2）如图，作ON⊥AB，可得∠ANO＝∠DEC＝90°，由垂径定理可得AN＝3，再利用“AAS”证得△ANO≌△DEC，即可求得DE的长；
（3）如图，作AG⊥BC于点G，DH⊥AB于点H，先证得△ADH≌△ADG≌△ACG，从而得到DH＝DG＝GC＝3，利用勾股定理求出BH=4，设AH=AG=x，再利用勾股定理得到，解得x=6，求得AB=10，再延长AD交⊙O于F，连接BF，再由∠F＝∠C=∠ADC=∠BDF，可得BF=BD=5，再在Rt△ABF中，利用勾股定理求得AF长，即可求得r的值；
（4）如图，延长AD交⊙O于点F，作CG⊥AF于点G，连接EG交DC于点H，连接BF，先由AB=DB，得∠BAD=∠ADB，再由角的等量代换可得∠EDC=∠GDC，从而得∠ECD=∠GCD，即得到DE=DG，进而得到AD+DE=AD+DG=AG，EF⊥DC，∠DGH =∠DEH，再通过角等量代换可推出∠BFD=∠AGE，利用“AAS”定理证得△BDF≌△AGE，可得AG=BF，再由AF是⊙O的直径，可得∠ABF=90°，最后利用勾股定理可表示BF===，即可求出AD+DE.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
