浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题B卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.
【答案】C
2.
【答案】A
3.
【答案】D
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】A
7.
【答案】B
8.
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】AC
10.
【答案】BCD
11.
【答案】ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】
13.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；
（2）利用转化法可得向量数量积.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
由题意易知，
则，，
则
．
16.
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1求出的值；
（2）由每日人均业务量的平均值分别求出方案（1）和（2）的人均日收入；比较大小后再做选择；
（3）用40除以400得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前10%，即超过90%，分析90%是否在前5组频率和以及前6组频率和之间，设对应销为，由频率分布直方图的百分位数的公式得到对应的值.
【小问1详解】
∵，
∴
【小问2详解】
每日人均业务量的平均值为：，
方案（1）人均日收入为：元，
方案（2）人均日收入为：元，
∵248元>224元，
所以选择方案（2）
【小问3详解】
∵，即设该销售员收入超过了90%的公司销售人员.
由频率分布直方表可知：
前5组的频率和为
前6组的频率和为
∵，设该销售的每日的平均业务量为，
则，
∴，又∵
∴最小取82，
故他每日的平均业务量至少应达82单.
17.
【解析】
【分析】（1）设，由，得动点的轨迹方程；
（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程.
【小问1详解】
设，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
【小问2详解】
曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
有圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切直线的方程为或.
18.
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，从而可证得结论；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出线段上是存在点，使得平面平面，进而可求得的值．
【小问1详解】
证明：正方形与梯形所在的平面互相垂直，交线为，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以；
【小问2详解】
由（1）可得，，又，
如图，以原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．
设，则,0,，,1,，,0,，,2,，,0,，
取平面的一个法向量，
设平面的一个法向量,,，
因为，
则，
令，则，所以,,．
设平面与平面所成角的大小为，
则．
所以平面与平面所角的余弦值是．
【小问3详解】
若与重合，则平面的一个法向量,
由（2）知平面的一个法向量,,，则，
则此时平面与平面不垂直．
若与不重合，
如图设，则,,，
设平面的一个法向量,,，则，
即，令，则，，
所以，
平面平面等价于，
即，所以．
所以，线段上存在点使平面平面，且．
19.
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程，求得 ,即得答案；
（2）确定，求出直线方程，联立椭圆方程求得，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合直线斜率关系，可证明结论.
【小问1详解】
由题意可得 ,解得，
故椭圆E的方程为．
【小问2详解】
证明：由（1）可知，，则直线的方程为
联立方程组,整理得，解得或，则，
设，直线的方程为，直线的方程为，
设，
联立方程组，整理得，
可得，
联立方程组，整理得，
则，得从而．
因为，
，
即，所以三点共线，
所以直线经过点F．浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题B卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 直线的倾斜角是（）
A. B. 不存在 C. D.
2. 2024年，中国大陆居民幸福感指数高达，持续领跑全球，幸福感指数常用区间[0，100]内的一个数来表示，数字越接近100表示满意度越高．现随机抽取10位学生，他们的幸福感指数为73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．则这组数据的分位数是（）
A. 77.5 B. 77 C. 78 D. 76.5
3. 高二6班和高二7班进行班级篮球赛，采用3场2胜制，已知6班实力强劲，其每场获胜的概率为，则最终7班能够逆袭成功的概率是（）
A. B. C. D.
4. 直线方程一个方向向量可以是（）
A. B. C. D.
5. 如图，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（）
A B.
C. D.
7. 若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（）
A. B. C. D.
8. 已知实数满足，，则的最大值为（）
A. B. 4 C. D. 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 给出下列命题，其中正确是 （ ）
A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C. 点P为平面ABC上一点，O为平面ABC外一点，且，则
D. 非零向量，，若，则为锐角
10. 下列说法错误的是（）
A直线恒过定点
B. 经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为
C. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是
D. 已知直线过点，直线过点，若，则．
11. 已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆上任意一点．若的最小值为，则下列说法中正确的是（）
A. 的最小值为5 B. 的最大值为5
C. 存在点使得 D. 的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为_________．
13. 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是________．
14. 已知集合，集合，若有两个元素，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在正六棱柱中，为的中点．设，，.
（1）用，，表示向量，；
（2）若求的值．
16. 某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
（3）假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？
17. 已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
18. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，．
（1）求证：；
（2）求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值；
（3）线段上EC上是否存在点，使平面平面BDF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知是椭圆上的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点和右焦点的直线与椭圆交于另一个点B，P为直线上的动点，直线分别与椭圆交于（异于点），（异于点）两点，证明：直线经过点．
