1.3.2　空间向量运算的坐标表示 课后训练(含解析)-2024-2025学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

1.3.2　空间向量运算的坐标表示
A级——基础过关练
1．已知a＝(－5，6，1)，b＝(6，5，0)，则a与b(　　)
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
2．已知向量a＝(1，0，1)，b＝(2，0，－2)，若(ka＋b)·(a＋kb)＝2，则k的值等于(　　)
A．1 B．
C． D．
3．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知空间三点A(1，0，3)，B(－1，1，4)，C(2，－1，3)，若∥，且||＝，则点P的坐标为(　　)
A．(4，－2，2) B．(－2，2，4)
C．(4，－2，2)或(－2，2，4) D．(－4，2，－2)或(2，－2，4)
5．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底．若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　)
A．(4，0，3) B．(1，2，3)
C．(3，1，3) D．(2，1，3)
6．(多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论不正确的有(　　)
A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6)
C．a·b＝10 D．|a|＝6
7．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________．
8．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
9．已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________．
10．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c．
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值．
B级——综合运用练
11．(多选)在如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝AB＝DA＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，则下述结论正确的有(　　)
A．DM⊥EB B．BD⊥EC
C．DE⊥BM D．EA⊥CD
12．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O(0，0，0)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为________
13．已知空间四点A(2，0，0)，B(0，2，1)，C(1，1，1)，D(－1，m，n)．
(1)若AB∥CD，求实数m，n的值；
(2)若m＋n＝1，且直线AB和CD所成角的余弦值为，求实数m的值．
C级——创新拓展练
14．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，AA1的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；
(3)求证：BN⊥平面C1MN．
答案解析
1、【答案】A
【解析】因为a＝(－5，6，1)，b＝(6，5，0)，所以a·b＝－5×6＋6×5＋1×0＝0，所以a⊥b．故选A．
2、【答案】D
【解析】由已知得|a|＝，|b|＝2，且a·b＝0，由(ka＋b)·(a＋kb)＝2，得k|a|2＋k|b|2＋(k2＋1)a·b＝2，即2k＋8k＝2，解得k＝．故选D．
3、【答案】D
【解析】因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)，所以cos 〈a，b〉＝＝＝．又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为．故选D．
4、【答案】C
【解析】设P(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，＝(3，－2，－1)，因为∥，所以＝λ＝(3λ，－2λ，－λ)，即解得所以P(3λ＋1，－2λ，－λ＋3)．又因为||＝，所以＝，解得λ＝1或λ＝－1，所以P(4，－2，2)或P(－2，2，4)．故选C．
5、【答案】C
【解析】设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝4a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，整理得4a＋2b＋3c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以解得所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(3，1，3)．故选C．
6、【答案】ABC
【解析】a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)，a·b＝22，|a|＝6，所以A，B，C错误．
7、【答案】7
【解析】因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0．所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，解得k＝7．
8、【答案】(－∞，－2)
【解析】a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝＜0．又因为|a|＞0，|b|＞0，所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2．又因为a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
9、【答案】－
【解析】因为a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，所以cos 120°＝，所以k＝－．
10、解：(1)因为a∥b，所以＝＝，
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．
又由b⊥c，得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2，2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，所以向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为cos θ＝＝－．
11、【答案】AD
【解析】以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA＝DA＝AB＝2CB＝2，则A(0，0，0)，E(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，1)，D(0，0，2)，M，＝，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝(0，－2，2)，＝(2，0，－2)，＝，＝(－2，0，0)，＝(0，－2，1)，仅有·＝0，·＝0，从而得DM⊥EB，EA⊥CD．故选AD．
12、【答案】－
【解析】因为＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，所以＋λ＝(1，－λ，λ)，所以(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，|＋λ|＝＝，||＝．所以cos 120°＝＝－，所以λ2＝．又因为＜0，所以λ＝－．
13、解：(1)＝(－2，2，1)，＝(－2，m－1，n－1)，
由AB∥CD得解得
(2)设直线AB和CD所成的角为θ，则有cos θ＝＝＝．
又因为m＋n＝1，所以m＝3±2．
14、解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz．
依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为．
(2)由(1)中建立的坐标系得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3．
又∵||＝，||＝，
∴cos 〈，〉＝＝．
故A1B与B1C所成角的余弦值为．
(3)证明：由(1)中建立的坐标系得C1(0，0，2)，N(1，0，1)，M，
∴＝，＝(1，0，－1)，＝(1，－1，1)，∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0，
·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0．
∴⊥，⊥，∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，
又∵C1M∩C1N＝C1，C1M 平面C1MN，C1N 平面C1MN，
∴BN⊥平面C1MN．