1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系-空间中直线与平面的垂直 课后训练（含解析）-2024-2025学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
空间中直线与平面的垂直
A级——基础过关练
1．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z等于(　　)
A．3 B．6
C．－9 D．9
2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面垂直 D．异面不垂直
3．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，＝λ，＝3，若PN⊥BM，则λ＝(　　)
A． B．
C． D．
4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，那么CE与DF的和为(　　)
A． B．1
C． D．2
5．(多选)如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的有(　　)
A．·＝0
B．AB⊥DC
C．BD⊥AC
D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
6．(多选)已知P是平行四边形ABCD所在的平面外一点．若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的有(　　)
A．AP⊥AB B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的法向量 D．∥
7．已知平面α的一个法向量a＝(x，1，－2)，平面β的一个法向量b＝，若α⊥β，则x－y＝________．
8．已知△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，其中＝(1，m，2)，＝(2，m，n)(m，n∈R)，则m＋n＝________．
9．给出下列命题：
①直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为b＝，则l与m垂直；
②直线l的方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；
③平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β；
④平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1．
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．
10．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝AA1＝2，N，M分别是AB，C1D的中点．
(1)求证：NM∥平面A1ADD1；
(2)求证：NM⊥平面A1B1M．
B级——综合运用练
11．(多选)已知直线l1，l2的方向向量分别是＝(2，4，x)，＝(2，y，2)，若||＝6且l1⊥l2，则x＋y的值可以是(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
12．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)．若向量n是与共线的单位向量，则向量n的坐标为________；若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________．
13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC．
C级——创新拓展练
14．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，E是棱PB的中点．求证：AE⊥平面PBC．
答案解析
1、【答案】C
【解析】∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0，∴z＝－9．
2、【答案】C
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，∴＝(－1，0，－2)，＝(－2，0，1)．∵·＝0，∴直线NO，AM的位置关系是异面垂直．
3、【答案】C
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．由题意知A1(0，0，0)，B(1，0，1)，M，P(λ，0，0)，N，则＝，＝．∵⊥，∴×(－1)＋×1＋1×＝0，∴λ＝．故选C．
4、【答案】B
【解析】以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)，所以＝(x－1，0，1)，＝(1，1，y)．因为B1E⊥平面ABF，所以·＝(1，1，y)·(x－1，0，1)＝0，即x＋y＝1．
5、【答案】BC
【解析】建立以D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系(图略)，设等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A(0，0，1)，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)，＝(－1，0，0)，从而有·＝0＋0＋1＝1，故A错误；·＝0，故B正确；·＝0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为向量＝(－1，0，0)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则·n＝x－z＝0，·n＝y－z＝0，令y＝1，则x＝1，z＝1，故n＝(1，1，1)，·n＝－1，故D错误．
6、【答案】ABC
【解析】∵·＝0，·＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，∴A，B正确；又∵与不平行，∴是平面ABCD的法向量，∴C正确；∵＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，∴与不平行，∴D错误．
7、【答案】－1
【解析】因为α⊥β，所以a⊥b，所以－x＋y－1＝0，得x－y＝－1．
8、【答案】－1
【解析】由题意得·＝0，且||＝||，∴∴∴m＋n＝－1．
9、【答案】①④
【解析】对于①，∵a＝(1，－1，2)，b＝，∴a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，∴a⊥b，∴直线l与m垂直，故①正确；对于②，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a⊥n，∴l∥α或l α，故②错误；对于③，∵n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，故③错误；对于④，∵点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，∴＝(－1，1，1)，＝(－1，1，0)，∵向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，∴即则u＋t＝1，故④正确．综上，真命题是①④．
10、证明：(1)以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，M(0，1，1)，N(1，1，0)，B1(1，2，2)，A1(1，0，2)，
＝(－1，0，1)，
易知平面A1ADD1的一个法向量为m＝(0，1，0)，
因为·m＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，
所以⊥m．
因为NM 平面A1ADD1，
所以NM∥平面A1ADD1．
(2)设平面A1B1M的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(0，2，0)，＝(－1，1，－1)，
由
得取x＝－1，可得n＝(－1，0，1)，
所以＝n，故NM⊥平面A1B1M．
11、【答案】AC
【解析】＝(2，4，x)，＝(2，y，2)，若||＝6且l1⊥l2，
则解得或所以x＋y＝1或－3．故选AC．
12、【答案】或　(－2，4，1)或(2，－4，－1)
【解析】据题意得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2)．设n＝(x，y，z)，若向量n是与共线的单位向量，则可得n＝或n＝．若n与平面ABC垂直，则即可得又因为|n|＝，所以＝，解得z＝1或z＝－1．所以n＝(－2，4，1)或n＝(2，－4，－1)．
13、证明：依题设，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(1，0，0)，P(0，0，1)，A(0，1，0)，B1(1，1，2)，
于是＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(1，1，1)，
所以·＝(－1，1，0)·(1，1，1)＝0，
·＝(－1，0，1)·(1，1，1)＝0，
故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA．
又因为CP∩CA＝C，且CP 平面PAC，CA 平面PAC，
所以直线PB1⊥平面PAC．
14、证明：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz．
设D(0，a，0)，则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，a，0)，P(0，0，)，E．
于是＝，＝(0，a，0)，＝(，a，－)，
则·＝0，·＝0．
所以AE⊥BC，AE⊥PC．
又因为BC∩PC＝C，所以AE⊥平面PBC．