1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系-空间中点、直线和平面的向量表示，空间中直线、平面的平行 课后训练-2024-2025学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
空间中点、直线和平面的向量表示，空间中直线、平面的平行
A级——基础过关练
1．直线l的方向向量为s＝(－1，1，1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为(　　)
A．－2 B．－
C． D．±
2．已知平面α∥平面β，n＝(1，－1，1)为平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的一个法向量的是(　　)
A．(1，1，1) B．(－1，1，－1)
C．(－1，－1，－1) D．(1，1，－1)
3．如图，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，且平面ABC中的小方格为单位正方形，则下列能正确表示向量的为(　　)
A．＋2＋2 B．－3－2
C．＋3－2 D．＋2－3
4．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
5．(多选)在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，AD，AA1的中点，则下列说法错误的有(　　)
A．D1F⊥B1C B．FG∥D1E
C．FG⊥平面AD1E D．BF∥平面AD1E
6．(多选)在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列所给向量是平面PAB的法向量的有(　　)
A． B．(1，－，1)
C．(1，1，1) D．(－2，－2，－1)
7．已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0，3，5)，B(2，2，0)，C(0，5，0)，直线BD∥CA，并且与坐标平面Ozx相交于点D，点D的坐标为________．
8．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝(2，2，4)，若a＝(－1，－1，1)，则直线l与平面α的位置关系为________．
9．已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为________．
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．求平面A1BC的法向量．
B级——综合运用练
11．(多选)(2023年东营检测)在如图所示的坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则下列结论中正确的有(　　)
A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)
C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是________．(填序号)
13．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面α经过点A，且是α的法向
量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
C级——创新拓展练
已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，M分别是BC，AE的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a．试问在线段CD1上是否存在一点N，使MN∥平面ADD1A1？若存在，确定点N的位置；若不存在，说明理由．
答案解析
1、【答案】D
【解析】∵l∥平面α，∴s⊥n，即s·n＝0．∴(－1，1，1)·(2，x2＋x，－x)＝0，即－2＋x2＋x－x＝0，∴x＝±．
2、【答案】B
【解析】∵(－1，1，－1)＝－n，∴(－1，1，－1)是平面β的一个法向量．
3、【答案】C
【解析】连接AP(图略)，∵A，B，C，P四点共面，∴可设＝x＋y，即＝＋x＋y，由题图可知x＝3，y＝－2．
4、【答案】D
【解析】由l1∥l2，知a∥b，则＝＝，解得x＝6，y＝．故选D．
5、【答案】ABC
【解析】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
设AD＝2，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(2，2，1)，F(1，0，0)，G(2，0，1)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，＝(1，0，－2)，＝(－2，0，－2)，＝(1，0，1)，＝(2，2，－1)，＝(2，0，－2)，＝(－1，－2，0)．设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝2，则z＝2，y＝－1，n＝(2，－1，2)．·＝(1，0，－2)·(－2，0，－2)＝2≠0，故A错误；因为≠，所以FG∥D1E不成立，故B错误；·＝(1，0，1)·(2，2，－1)＝1≠0，故FG⊥平面AD1E不成立，故C错误；·n＝(－1，－2，0)·(2，－1，2)＝0，又因为BF 平面AD1E，故BF∥平面AD1E，故D正确．故选ABC．
6、【答案】AD
【解析】由题意得A(1，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，2)，则＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，1)，则n·＝x－2＝0，即x＝2；n·＝－x＋y＝0，即y＝x＝2．所以n＝(2，2，1)．因为＝n，(－2，－2，－1)＝－n，所以A，D正确．
7、【答案】(2，0，5)
【解析】由题意可设点D的坐标为(x，0，z)，则＝(x－2，－2，z)，＝(0，－2，5)．因为BD∥CA，所以所以所以点D的坐标为(2，0，5)．
8、【答案】l∥α或l α
【解析】a·n＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，则l∥α或l α．
9、【答案】x＋y＋z＝3
【解析】由题意知，OA⊥α，直线OA的方向向量＝(1，1，1)，因为P∈α，所以⊥，所以(1，1，1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，所以x＋y＋z＝3．
10、解：由已知得B(1，0，0)，C(0，1，0)，
B1(1，0，2)，A1(0，0，2)，
故＝(－1，1，0)，设平面A1BC的法向量为m＝(a，b，c)，
因为＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)，
则
令a＝1，则m＝，
所以平面A1BC的法向量为m＝．
11、【答案】ABC
【解析】DD1∥AA1，AA1＝(0，0，1)，故A正确；BC1∥AD1，AD1＝(0，1，1)，故B正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，故C正确；点C1的坐标为(1，1，1)，AC1与平面B1CD不垂直，故D错误．
12、①；②；③；④．
【答案】②③
【解析】因为AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，所以与可以作为平面ABC的法向量．
13、解：(1)因为B(2，0，0)，C(0，2，－2)，
所以＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)为直线BC的一个方向向量．
(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，
因为⊥平面α，AM α，所以⊥，
所以(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0．
所以－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0．
所以x－y＋z＝2．
14、解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，2a，0)，C(0，2a，0)，D1(0，0，a)，E，M，
则＝(0，2a，0)，＝(0，－2a，a)．
假设CD1上存在点N，使MN∥平面ADD1A1，
并设＝λ＝(0，－2aλ，aλ)(0＜λ＜1)，
则＝＋＝(0，2a，0)＋(0，－2aλ，aλ)＝(0，2a(1－λ)，aλ)．
又因为＝，
所以＝－＝．
易知是平面ADD1A1的一个法向量，
所以⊥，则2a(a－2aλ)＝0，λ＝．
又因为MN 平面ADD1A1，
故存在N为CD1的中点，
使MN∥平面ADD1A1．