2.3.1　两条直线的交点坐标2.3.2　两点间的距离公式 课后训练-2024-2025学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

2.3.1　两条直线的交点坐标
2.3.2　两点间的距离公式
A级——基础过关练
1．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．已知直线l1：Ax＋3y＋C＝0与l2：2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为(　　)
A．4 B．－4
C．4或－4 D．与A的取值有关
3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝(　　)
A． B．2
C．3 D．
4．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是(　　)
A．2 B．3＋2
C．6＋3 D．6＋
5．过两条直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
6．(多选)两条直线(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有(　　)
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
7．过两条直线l1：x＋y－2＝0与l2：3x－y－4＝0的交点，且斜率为－2的直线l的方程为________．
8．若直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围为________．
9．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于点B，且|AB|＝5，则直线l1的方程为__________．
10．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．
(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；
(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0．
B级——综合运用练
11．(多选)已知直线l经过点P(3，1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为(　　)
A．x＝2 B．x＝3
C．y＝1 D．y＝2
12．已知直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0，则直线l1与l2的交点坐标为__________；过直线l1与l2的交点且与直线x－y－1＝0平行的直线方程为____________．
13．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值．
C级——创新拓展练
在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标．
答案解析
1、【答案】B
【解析】因为|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，所以此三角形为等腰三角形．
2、【答案】B
【解析】因为两条直线的交点在y轴上，且直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点是，所以点在直线Ax＋3y＋C＝0上，则A×0＋3×＋C＝0，解得C＝－4．
3、【答案】B
【解析】设A(x，0)，B(0，y)，因为AB的中点是P(2，－1)，所以＝2，＝－1．所以x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)．所以|AB|＝＝2．
4、【答案】C
【解析】|AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|AC|＝＝3，则△ABC的周长为6＋3．
5、【答案】B
【解析】由得交点(－1，4)．因为所求直线与3x＋y－1＝0垂直，所以所求直线的斜率k＝，所以y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0．
6、【答案】ABD
【解析】由题知，三条直线相交于同一个点时，m＝0，此时不能构成三角形；直线(m＋2)x－y＋m＝0，整理得m(x＋1)＋(2x－y)＝0，由解得即直线(m＋2)x－y＋m＝0经过定点(－1，－2)，当直线(m＋2)x－y＋m＝0的斜率k＝m＋2＝0，即m＝－2时，直线y＝－2，x＋y＝0与x轴不能构成三角形；当直线(m＋2)x－y＋m＝0与直线x＋y＝0平行，即m＝－3时，三条直线不能构成三角形．综上，两直线(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0与x轴相交不能构成三角形的m的取值为0，－2或－3．
7、【答案】4x＋2y－7＝0
【解析】由得所以直线l的方程为y－＝－2，即4x＋2y－7＝0．
8、【答案】
【解析】由解得即两直线的交点坐标为．又因为交点在第四象限，所以解得－＜a＜2．
9、【答案】x＝1或3x＋4y＋1＝0
【解析】由于点B在l上，可设点B的坐标为(x0，－2x0＋6)．由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，化简得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或x0＝5．当x0＝1时，AB的方程为x＝1；当x0＝5时，AB的方程为3x＋4y＋1＝0．综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0．
10、解：解方程组得交点P(1，1)．
(1)已知直线与l1平行，因为k1＝2，所以斜率k＝2，
所以所求直线为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．
(2)已知直线与l2垂直，因为k2＝，
所以斜率k＝－＝－，
所以y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0．
11、【答案】BC
【解析】若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段AB的长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意；若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，解得A，
解
得B，由|AB|＝5，
得＋2＝52，解得k＝0，即所求的直线方程为y＝1．综上可知，所求直线l的方程为x＝3或y＝1．故选BC．
12、【答案】(2，3)　x－y＋1＝0
【解析】由解得∴交点坐标为(2，3)．∵所求直线与直线x－y－1＝0平行，∴所求直线的斜率为1，由点斜式方程可得y－3＝1×(x－2)，整理得x－y＋1＝0，∴直线方程为x－y＋1＝0．
13、解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
因为正三角形ABC的边长为a，
所以B，C，A．
设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
＝x2＋＋＋y2＋＋y2＝3x2＋3y2－ay＋
＝3x2＋3＋a2≥a2，
当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立，
故所求最小值为a2，此时点P的坐标为，是正三角形ABC的中心．
14、解：如图所示，由已知得点A应是BC边上的高所在的直线与∠A的平分线所在直线的交点．
由
得
∴点A的坐标为(－1，0)．
又∵∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，∴kAC＝－kAB＝－＝－1，
∴AC所在直线的方程为y＝－(x＋1)．
又∵kBC＝－2，
∴BC所在直线的方程为y－2＝－2(x－1)，由解得
∴点C的坐标为(5，－6)．