第二章　直线和圆的方程 章末检测(含解析）-2024-2025学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

第二章　直线和圆的方程
章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线2x－2y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A． B．
C． D．
2．圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是(　　)
A．外离 B．外切
C．相交 D．内含
3．圆C：x2＋y2＋6x－8y＋24＝0关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)
A．(x－4)2＋(y＋3)2＝1 B．(x－4)2＋(y－3)2＝49
C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1 D．(x＋4)2＋(y＋3)2＝49
4．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)
A．－4 B．20
C．0 D．24
5．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　)
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－
6．若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　)
A．45° B．135°
C．60° D．120°
7．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为(　　)
A．－3或7 B．－2或8
C．0或10 D．1或11
8．在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则|AP|等于(　　)
A．2 B．1
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．下列说法中，正确的有(　　)
A．直线y＝5x－3在y轴上的截距为3
B．直线x－y＋1＝0的倾斜角为60°
C．A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三点共线
D．过点(3，4)且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x＋y－7＝0
10．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值可以是(　　)
A．4 B．5
C． D．6
11．在同一平面直角坐标系中，直线y＝ax＋a2与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置不可能是(　　)
　　　　　　
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2023年青岛期末)若过点P(1－a，1＋a)与点Q(3，2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
13．平面内动点P到两点A，B距离之比为常数λ(λ＞0，且λ≠1)，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A(－2，0)，B(2，0)，λ＝，则此阿波罗尼斯圆的方程为__________．
14．已知圆O：x2＋y2＝1，l为过点(0，2)的动直线，若l与圆O相切，则直线l的倾斜角为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知直线l经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，直线l3：2x－y－1＝0．
(1)若l∥l3，求l的直线方程；
(2)若l⊥l3，求l的直线方程．
16．(15分)已知△ABC的三个顶点是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3)．
(1)求BC边的高所在的直线方程；
(2)求△ABC的面积S．
17．(15分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圆的方程．
(2)若直线ax－y＋5＝0(a≠0)与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
18．(17分)已知△ABC的顶点C(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0．
(1)求顶点A和B的坐标；
(2)求△ABC外接圆的一般方程．
19．(17分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．
(1)求点A关于直线l的对称点B的坐标；
(2)直线l关于点A对称的直线a的方程；
(3)以点A为圆心，3为半径长作圆，直线b过点M(2，2)，且被圆A截得的弦长为2，求直线b的方程．
答案解析
1、【答案】A
【解析】2x－2y＋1＝0，则斜率k＝1，设倾斜角是α，0≤α＜π，即tan α＝1，所以α＝．故选A．
2、【答案】C
【解析】将圆的一般方程化为标准方程得C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝9，所以C1(－1，－4)，C2(2，2)，r1＝5，r2＝3．从而|C1C2|＝＝3，所以r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2．因此两圆的位置关系为相交．故选C．
3、【答案】A
【解析】圆C：x2＋y2＋6x－8y＋24＝0化为标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝1，所以圆C的圆心为(－3，4)，半径为1．因为点(－3，4)关于直线y＝x的对称点为(4，－3)，所以圆C关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝1．故选A．
4、【答案】A
【解析】∵l1⊥l2，∴－·＝－1，∴a＝10．∴l1：10x＋4y－2＝0．将(1，c)代入，得10＋4c－2＝0，∴c＝－2；将(1，－2)代入直线l2的方程，得2－5×(－2)＋b＝0，∴b＝－12．故a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．
5、【答案】A
【解析】①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不合题意．
②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得解得m＝1．综上可得m＝1．故选A．
6、【答案】B
【解析】将圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成标准方程，得＋(y＋1)2＝1－，所以r2＝1－，当圆取得最大面积时，k＝0，半径r＝1，因此直线y＝(k－1)x＋2，即y＝－x＋2，则直线的倾斜角α满足tan α＝－1，所以α＝135°．故选B．
7、【答案】A
【解析】由题意知，直线2x－y＋λ＝0平移后方程为2(x＋1)－y＋λ＝0，圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标为(－1，2)，半径为．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有＝，解得λ＝－3或λ＝7．
8、【答案】D
【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．由题可知B(4，0)，C(0，4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0．设P(t，0)(0＜t＜4)，由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4，4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t，0)，根据反射定理可知P1P2就是光线RQ所在直线．由P1，P2两点的坐标可得直线P1P2的方程为y＝(x＋t)．设△ABC的重心为G，易知G．因为重心G在光线RQ上，所以有＝·，即3t2－4t＝0，解得t＝0或t＝．因为0＜t＜4，所以t＝，即|AP|＝．故选D．
9、【答案】BC
【解析】对于A，直线y＝5x－3在y轴上的截距为－3，故A错误；对于B，x－y＋1＝0 y＝x＋1，所以直线的斜率为k＝tan α＝，则倾斜角α＝60°，故B正确；对于C，由A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)可得＝(1，2)，＝(－4，－8)，所以＝－，A，B，C三点共线，故C正确；对于D，过点(3，4)且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x＋y－7＝0或y＝x，故D错误．故选BC．
10、【答案】BC
【解析】易求圆心(3，－5)，到直线4x－3y－2＝0的距离d＝5，由已知得d－1＜r＜d＋1，即4＜r＜6．故选BC．
11、【答案】ABD
【解析】直线y＝ax＋a2经过圆(x＋a)2＋y2＝a2的圆心(－a，0)，且斜率为a，故不可能为A，B，D．
12、【答案】(－2，1)
【解析】设直线的斜率为k，则k＝＝＜0，得－2＜a＜1．
13、【答案】x2＋y2＋x＋4＝0
【解析】由题意，设P(x，y)，则＝，化简可得x2＋y2＋x＋4＝0．
14、【答案】或
【解析】若直线l与圆相切，则l的斜率肯定存在，设l：y＝kx＋2，则d＝＝1，所以k＝±．所以直线l的倾斜角为或．
15、解：(1)由得
∴l1与l2的交点为(1，3)．
设与直线2x－y－1＝0平行的直线为2x－y＋c＝0，
则2－3＋c＝0，
∴c＝1．
∴所求直线方程为2x－y＋1＝0．
(2)设与直线2x－y－1＝0垂直的直线为x＋2y＋c＝0，
则1＋2×3＋c＝0，解得c＝－7．
∴所求直线方程为x＋2y－7＝0．
16、解：(1)设BC边的高所在直线为l，由题知
kBC＝＝1，则kl＝＝－1．
因为点A(－1，4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，即x＋y－3＝0．
(2)BC所在直线方程为y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，
点A(－1，4)到BC的距离d＝＝2，
因为|BC|＝＝4，则S△ABC＝·|BC|·d＝×4×2＝8．
17、解：(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z)．
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，
所以＝5，即|4m－29|＝25，解得m＝或m＝1．
因为m为整数，故m＝1，
所以所求圆的方程是(x－1)2＋y2＝25．
(2)假设符合条件的实数a存在，
因为a≠0，则直线l的斜率为－，l的方程为y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0．
由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上．
所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝．
经检验，当a＝时，直线ax－y＋5＝0与圆有两个交点．
故存在实数a＝，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB．
18、解：(1)由得顶点B(7，－3)．
由AC⊥BH，kBH＝－．所以可设AC的方程为y＝3x＋b，
将C(2，－8)代入，得b＝－14．
由得顶点为A(5，1)．
所以点A和B的坐标分别为(5，1)和(7，－3)．
(2)设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将点A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)分别代入圆的方程，
得解得
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0．
19、解：(1)设点B(m，n)，
则
解得
所以点A关于直线l的对称点B的坐标为．
(2)设P(x，y)是直线a上任意一点，
则点P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点C(－2－x，－4－y)在直线l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0．
(3)设圆心A到直线b的距离为d，直线b被圆A截得的弦长为2，因此d＝＝．
当直线b斜率不存在时，x＝2不满足条件；
当直线b斜率存在时，设其方程为y－2＝k(x－2)，则＝，解得k＝．
综上，直线b的方程为y＝x－或y＝x－．