第三章　圆锥曲线的方程 章末检测（含解析）-2024-2025学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

第三章　圆锥曲线的方程
章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是(　　)
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝32
2．(2023年合肥检测)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于(　　)
A．17 B．15
C．9 D．7
3．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2π，且短轴长为2，则C的标准方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
4．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　　)
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－
C．x2＝y－ D．x2＝2y－2
5．已知双曲线C：－＝1的上、下焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若|PF2|＝14，则|PF1|＝(　　)
A．38 B．24
C．38或10 D．24或4
6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．3
7．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
8．已知E是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的对称轴与准线的交点，F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上，在△EFP中，若sin ∠EFP＝μ·sin ∠FEP，则μ的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．已知双曲线C过点(3，)且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的有(　　)
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex-2－1经过C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的有(　　)
A．x1x2＝1 B．kPQ＝－
C．|PQ|＝ D．l1与l2之间的距离为4
11．已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的有(　　)
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
13．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
14．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)给定抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点．若|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．
16．(15分)(2023年岳阳期末)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点A(2，1)，离心率为，过点B(3，0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆的方程；
(2)若|MN|＝，求直线MN的方程．
17．(15分)已知双曲线C的离心率为，且过点(，0)，过双曲线C的右焦点F2作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求△AOB的面积．
18．(17分)如图，A是抛物线y2＝4x上的动点，过点M(2，1)的直线AM与抛物线交于另一点B．
(1)若M为线段AB的中点，求直线AB的方程；
(2)已知点P(4，0)，求四边形AOBP面积的最小值．
19．(17分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为M(2，0)，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)Q为左顶点，过点N(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当 取得最大值时，求直线l的方程．
答案解析
1、【答案】C
【解析】因为点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以将直线x＋5＝0右移1个单位，得直线x＋4＝0，即x＝－4，易知点P到直线x＝－4的距离等于它到点(4，0)的距离．根据抛物线的定义，可知P的轨迹是以(4，0)为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线．设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，可得＝4，得2p＝16，所以抛物线的标准方程为y2＝16x，即P点的轨迹方程为y2＝16x．故选C．
2、【答案】A
【解析】因为4x2－y2＋64＝0，所以－＝1，所以双曲线上一点P到两个焦点距离之差的绝对值为2×8＝16，因为点P到双曲线的一个焦点的距离等于1，所以点P到另一个焦点的距离等于17．故选A．
3、【答案】B
【解析】由题意可得解得a＝2，b＝，因为椭圆C的焦点在x轴上，所以C的标准方程为＋＝1．故选B．
4、【答案】A
【解析】设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，则y0＝x，又因为F(0，1)，所以所以代入y0＝x，得2y－1＝(2x)2，化简得x2＝2y－1．故选A．
5、【答案】B
【解析】由题意可得a＝5，b＝12，c＝13，因为|PF2|＝14＜a＋c＝18，所以点P在双曲线C的下支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝10，故|PF1|＝24．故选B．
6、【答案】A
【解析】如图，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，B(0，b)为上顶点，F(c，0)为右焦点，设D(x，y)，由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，即解得所以D．因为点D在椭圆上，所以＋＝1，解得a2＝3c2，即e2＝，所以e＝．故选A．
7、【答案】B
【解析】双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，将x＝a与双曲线渐近线方程联立，令点D和点E坐标分别为D(a，b)，E(a，－b)，所以△ODE的面积为ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以c≥4，则焦距2c的最小值为8．故选B．
8、【答案】C
【解析】过点P(x轴上方)作准线的垂线，垂足为H，则由抛物线的定义可得|PF|＝|PH|，由sin ∠EFP＝μ·sin ∠FEP，则在△PFE中，由正弦定理可知|PE|＝μ|PF|，所以|PE|＝μ|PH|，设PE的倾斜角为α，则cos α＝＝．当μ取得最大值时，cos α 最小，此时直线PE与抛物线相切．设直线PE的方程为x＝ty－，则联立直线与抛物线即y2－2pty＋p2＝0，所以Δ＝4p2t2－4p2＝0，所以t＝1，即tan α＝1，则cos α＝，则μ的最大值为．故选C．
9、【答案】AC
【解析】∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴设双曲线C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，又该双曲线过点(3，)，得λ＝1，故A正确；易知双曲线C的离心率e为，故B错误；y＝ex-2－1经过双曲线C的右焦点(2，0)，故C正确；联立直线和双曲线C的方程，消去x得y2－2y＋2＝0，∵Δ＝0，∴该直线与双曲线C有一个公共点，故D错误．
10、【答案】
ABC
【解析】如图，由抛物线的光学性质可知直线PQ过焦点F(1，0)，所以x1x2＝＝1，故A正确；由题意可得点P的坐标为，点Q的坐标为(4，－4)，所以kPQ＝＝－，故B正确；由抛物线的定义可知|PQ|＝x1＋x2＋p＝＋4＋2＝，故C正确；因为l1与l2平行，所以l1与l2之间的距离d＝|y1－y2|＝5，故D错误．故选ABC．
11、【答案】ACD
【解析】因为m＞n＞0，则＞＞0，所以＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，故A项正确；当m＝n＞0时，x2＋y2＝表示半径为的圆，故B项错误；当mn＜0时，曲线mx2＋ny2＝1表示双曲线，由mx2＋ny2＝0得＝－，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故C项正确；当m＝0，n＞0时，由y2＝，得y＝±，所以曲线表示两条直线，故D项正确．故选ACD．
12、【答案】(3，0)　
【解析】在双曲线C中，a＝，b＝，则c＝＝3，则双曲线C的右焦点坐标为(3，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为＝．
13、【答案】－1
【解析】设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，F2的坐标为(c，0)，P点坐标为(不妨取第一象限内点P)，由题意知|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，a2－c2＝2ac，＋2－1＝0，解得＝±－1，负值舍去，所以e＝＝－1．
14、【答案】
【解析】根据题意，得a2＝9，b2＝16，所以c＝＝5，且A(3，0)，F(5，0)．因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x．所以直线BF的方程为y＝±(x－5)．①若直线BF的方程为y＝(x－5)，与渐近线y＝－x交于点B，此时S△AFB＝|AF|·|yB|＝×2×＝；②若直线BF的方程为y＝－(x－5)，与渐近线y＝x交于点B．此时S△AFB＝|AF|·|yB|＝×2×＝．因此，△AFB的面积为．
15、解：显然直线l的斜率存在，故可设直线l：y＝k(x－1)，
联立消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，故x1＝，①
又因为|FA|＝2|BF|，
所以＝2，则x1－1＝2(1－x2)，②
由①②得x2＝(x2＝1舍去)，所以B，
得直线l的斜率为k＝kBF＝±2，
所以直线l的方程为y＝±2(x－1)．
16、解：(1)由题意有＋＝1，e＝＝，a2－b2＝c2，
解得a＝，b＝，c＝，
所以椭圆的方程为＋＝1．
(2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点，知直线MN的斜率必存在，
可设直线MN的方程为y＝k(x－3)，
代入椭圆方程，整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，Δ＝24－24k2＞0，得k2＜1．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|MN|＝
＝
＝＝，
解得k＝±，满足k2＜1，
所以直线MN的方程为y＝±(x－3)．
17、解：(1)由题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，＝，b2＝c2－a2，解得a2＝3，b2＝6，
所以双曲线的方程为－＝1．
(2)由(1)可得F2(3，0)，F1(－3，0)，
由题意设y＝(x－3)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与双曲线的方程
整理可得x2－18x＋33＝0，x1＋x2＝18，x1x2＝33，
S△AOB＝|OF2|·|y1－y2|＝×3××＝·＝36．
即△AOB的面积为36．
18、解：(1)设直线AB的方程为x＝my＋n，
由M在直线AB上，则m＋n＝2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由M(2，1)是AB的中点可得y1＋y2＝2×1＝2，
联立整理可得y2－4my－4n＝0．
根据韦达定理可得y1＋y2＝4m＝2，解得m＝．
根据m＋n＝2可得n＝，
则直线的方程为y＝2x－3．
(2)设直线AB的方程为x＝my＋n，
因为M在直线AB上，则有m＋n＝2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
整理可得y2－4my－4n＝0．
根据韦达定理，可得
故(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝16m2－16m＋32＝16(m2－m＋2)．
当m＝时，|y1－y2|min＝4＝2，
则四边形AOBP面积的最小值为S四边形OAPB＝|OP|·|y1－y2|min＝×4×2＝4．
19、解：(1)由题意可得a＝2，＝，则c＝，
则b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1．
(2)当直线l与x轴重合时，不妨取A(－2，0)，B(2，0)，此时·＝0；
当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0，
显然Δ＞0，y1＋y2＝，y1y2＝，
所以·＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋3t(y1＋y2)＋9
＝(t2＋1)＋3t＋9＝＋9
＝＋9＝，
当t＝0时，·取最大值，最大值为．
此时直线l方程为x＝1．