福建省厦门市、泉州市五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考试题 数学（含答案）

厦泉五校2024-2025学年高二年级第一学期期中联考
数学试题
（考试时间：120分钟满分：150分试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知，则（）
A. B. C. D.
2. 椭圆上一点P到左焦点距离为6，则P到右焦点的距离为（）
A. 5 B. 6 C. 4 D. 12
3. “”是“直线与圆：相切”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件
4. 下列命题中，不正确的命题是（）
A. 空间中任意两个向量一定共面
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
5. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（）
A. B. C. 3 D.
6. 在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（）
A. B. 2 C. D. 4
7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
8. 如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（）
A. B. 点关于平面对称点的坐标为
C. 若，则 D. 若，，则
10. 如图，在棱长为2正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（）
A. 直线与所成角的余弦值为 B. 点F到直线的距离为1
C. 平面 D. 点到平面的距离为
11. 已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）
A. 存在P使得 B. 椭圆C的弦MN被点平分，则
C. ，则的面积为9 D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为_______．
13. 已知F为椭圆的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若，则的面积为________．
14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______．
四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求顶点的坐标.
16. 已知空间三点，，．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）求的面积.
17. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程．
18. 已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点在椭圆上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程.
19. 已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）若．
（ⅰ）求三棱锥体积；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
（2）是否存在，使得折叠后长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
厦泉五校2024-2025学年高二年级第一学期期中联考
数学试题
一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3. “
【答案】A
4.
【答案】B
5.
【答案】A
6
【答案】C
7.
【答案】C
8.
【答案】C
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9.
【答案】ACD
10.
【解析】
11.
【答案】ABC
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12.
【答案】
13.【答案】##
14.
【答案】
四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.
【解析】
【分析】（1）利用垂直关系求出直线的斜率，进而求出其方程.
（2）求出直线的交点坐标即可.
【小问1详解】
由边上的高所在直线的斜率为1，得直线的斜率为，
又直线过，所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
由直线的方程为，而顶点为直线与直线的交点，
由，解得，
所以点.
16.
【解析】
【分析】（1）根据空间向量数量积与模长的坐标表示可得向量夹角余弦值；
（2）根据夹角余弦值可得正弦值，进而可得三角形面积.
【小问1详解】
由，，，
则，，，，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
则，
所以.
17.
【解析】
【分析】（1）设圆的方程为，由题意，列出方程组，求解得的值，即可写出圆的方程；
（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，斜率不存在时，联立方程求出点的坐标，计算弦长验证，斜率存在时，设的方程为，由圆心到直线的距离等于半径求出的值即得.
【小问1详解】
设圆方程为，
由已知得，
解得，，，
所以圆的方程为，即；
【小问2详解】
① 若直线有斜率，可设的方程为，即，
由已知，则圆心到直线的距离
解得，
此时，直线的方程为，即；
② 若直线没有斜率，则的方程为，
将其代入，可得或，
即得，，满足条件，
综上所述，直线的方程为或．
18.
【解析】
【分析】（1）由已知可得椭圆的左、右焦点坐标，而点在椭圆上，所以|MF1|+|MF2|=2a，从而可求出的值，再由可求出，从而可求得椭圆C的标准方程；
（2）设，由题可设直线AB的方程为x=my+1，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出△AOB的面积，列方程可求出的值，进而可得直线AB的方程.
【详解】解：（1）根据题意，设椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），
因为椭圆的左焦点为F1（﹣，0），设椭圆的右焦点为F2（，0），
由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，
所以，
所以椭圆C的方程为+y2=1，
（2）设，
由题可设直线AB的方程为x=my+1.
联立直线与椭圆的方程，，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0，
则有，
所以
又由S=，即
解得m2=1，即m=±1.
故直线AB的方程为x=±y+1，即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0
19.
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）由已知，可得，，即可求得求三棱锥的体积；
（ⅱ）求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，
利用向量的坐标运算即可求得二面角的余弦值．
（2）分别求出折叠前的长度与折叠后的长度，比为时，求得，可得答案.
【小问1详解】
（ⅰ）若，折叠前直线的方程为，
联立，解得或，可得，，
圆：，与轴交于两点，则，
折叠后三棱锥的体积为．
（ⅱ）由（ⅰ）及已知，则，，，，
，．
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，所以．
易知为平面的一个法向量，
设二面角的大小为，由题可知为锐角，
所以
故二面角的余弦值为．
【小问2详解】
设折叠前，，圆心到直线的距离，
则，
直线与圆方程联立得，
即，．
设，在新图形中的对应点分别为，
，，
．
若折叠后的长度与折叠前的长度之比为，
则，解得，
故当时，折叠后的长度与折叠前的长度之比为．