江苏省镇江市三校、泰州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学（含答案）

2024~2025学年度第一学期期中考试
高二数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 直线的倾斜角等于（）
A. B. C. D.
2. 在等比数列中，若，，则（）
A. -32 B. -16 C. 16 D. 32
3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
4. 将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（）
A. B. C. D.
5. 过点作圆的切线，则切线方程为（）
A. B. C. D.
6. 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（）
A. B. C. D.
7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（）
A1010 B. 2024 C. 1012 D. 2020
8. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（）
A. B. C. D. （3，7）
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点，点，点，则下列正确有（）
A. B. 直线的倾斜角为
C. D. 点到直线的距离为
10. 圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（）
A. 直线方程为 B. 公共弦的长为
C. 圆与圆的公切线段长为1 D. 线段的中垂线方程为
11. 已知数列满足，且，则下列正确的有（）
A.
B. 数列的前项和为
C. 数列的前项和为
D. 若数列的前项和为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是数列前项和，且，则的通项公式为___________.
13. 函数的最大值为______________.
14. 已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，.
（1）求数列与通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
16. 已知圆，点.
（1）过点圆作切线，切点为，求线段的长度
（2）过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度
（3）点为圆上一点，求线段长度的最大值
17. 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.
（1）过点且与直线平行；
（2）过点且到原点的距离等于2；
（3）直线关于直线对称的直线.
18. 已知圆.
（1）求的范围，并证明圆过定点；
（2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值.
19. 已知数列满足.
（1）求的值；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.
2024~2025学年度第一学期期中考试
高二数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.
【答案】B
2.
【答案】D
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BCD
10.
【答案】AC
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】或
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直接求解；
（2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
因为，所以，，
所以；
因为，所以．
【小问2详解】
结合（1）可得：
．
16.
【解析】
分析】（1）求出圆心和半径，得到；
（2）求出直线，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求出答案；
（3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，得到答案．
【小问1详解】
圆心，半径为，即，
又，
故；
【小问2详解】
，故直线，
记圆心到直线的距离为，
，故；
【小问3详解】
的最大值为点到圆心的距离加上半径，故．
17.
【解析】
【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得；
（2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可；
（3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得.
【小问1详解】
联立方程，解得，．
设与直线平行的直线为，
由题意得：，，
故满足要求的直线方程为：．
【小问2详解】
①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2；
②当所求直线斜率存在时，设直线方程为，
即，
原点到该直线的距离为，解得，
直线方程为，
综上所述，符合题意的直线方程为或．
【小问3详解】
在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则
，解得，，
又，则直线的方程即所求直线方程，为，
化简得，.
故所求的直线方程为：．
18.
【解析】
【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标.
（2）联立直线与圆的方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求解.
【小问1详解】
由圆，得，，，
所以的范围为；
，由，得，
所以圆过定点.
【小问2详解】
以弦为直径的圆过原点，则，，
设点，，则，，
即，
由，消去整理得：，
，，，
于是，解得，满足，
所以的值为．
19.
【解析】
【分析】（1）根据递推关系求值即可；
（2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列数列是以0为首项，以为公差的等差数列；
（3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围．
【小问1详解】
，
，，，，
，，
【小问2详解】
证明：由题可知：①，
②，
②-①得，即：，
所以，，
，
又
∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列.
【小问3详解】
由（2）可得，，，
则，
由可得；由可得，
∴，
故有最大值，∴对任意，有，
如果对任意，都有成立，
则，∴，解得或，
∴实数的取值范围是