12.3 角的平分线的性质导学案
学习目标
会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；
探索并证明角的平分线的性质；
能用角的平分线的性质解决简单的几何问题。
一.情景引入
活动1.不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？（对折）
活动2：如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？介绍角平分仪，追问：你能说出它的原理吗？（教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，写出证明过程。）
二.探索新知
活动3：师问：根据角平分仪的制作原理你受到哪些启发？怎样利用尺规作一个角的平分线呢？（不用角平分仪或量角器）学生讨论，教师指导，用尺规作角的平分线（教师板演，学生在练习本上完成）
活动4：平分平角∠AOB（学生独立完成，教师巡查）小组讨论得出：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
活动5：探索角的平分线的性质。(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？（小组操作讨论）(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.教师给出证明几何命题的一般步骤，让学生独立完成。师生活动：教师首先引导学生分析命题的题设和结论，如果学生感到困难，可以让学生把命题改成“如果……那么……”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中隐含的条件，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程。（3）讨论：你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？师生共同归纳得出：角平分线上的点到角的两边的距离相等。你能用几何语言描述吗？（学生回答，教师板书）（4）追问：你知道角的平分线的性质有什么作用吗？师生活动：角的平分线的性质的作用主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不用先证明两个三角形全等。
三.例题讲解（教师投影出示例题引导学生分析，然后让学生独立完成，个别板演，师生共同评价）
四.实践应用，巩固提高
（教师投影出示练习，学生先独立思考，有疑问再小组讨论完成，教师适时点拨）
五.反思小结
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：
1.本节课学习了哪些内容？
2.本节课通过什么方式探索角的平分线性质？
3.角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？在应用这一性质时要注意哪些问题？
小组讨论发言，师生归纳总结（板书）
1.用尺规作角的平分线.
2.定理 角平分线上的点到这个角两边的距离相等.用几何语言描述∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE.
3.定理的作用:证明线段相等。
六．课后作业
1.作已知角的角平分线
2.教科书习题12.3第2题
课件20张PPT。人教版八年级数学(上)12.3.1角平分线的性质（1）学习目标1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；
2.探索并证明角的平分线性质；
3.能用角的平分线性质解决简单的问题。 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折）情境问题 1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?情境问题 ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）O探究新知NOMCE ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AＢ作法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求． 1〉平分平角∠AOB
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。实践应用(1)探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.结论：C证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 探究角平分线的性质(3)验证猜想角平分线上的点到角的两边的距离相等你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？说一说PD ⊥OA ，PE ⊥OB∵OP平分∠AOB∴PD=PE.用符号表示为：角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等。例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，求点D到AB的距离。例题讲解E4巩固提高2、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB 练习回味无穷1.用尺规作角的平分线.
2.定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,
P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
3.定理的作用:证明线段相等。课后作业1.作已知角的角平分线
2.教科书习题12.3第2题
