2024-2025学年浙江省“台金七校联盟”高一年级第一学期期中联考数学试题(含答案）

2024-2025学年浙江省“台金七校联盟”高一年级第一学期期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“至少有一个实数，使得”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.学校开运动会，设是参加跑的同学，是参加跑的同学，是参加跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，这项规定用集合的运算可以表示为( )
A. B.
C. D.
3.设，且，则下列运算中正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，中不属于函数，，的一个是( )
A. B. C. D.
5.对于集合，和全集，“”，是“”的什么条件( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6.图是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象
由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图所示，这两种建议是( )
A. ：降低成本，票价不变； ：成本不变，提高票价．
B. ：提高成本，票价不变； ：成本不变，降低票价．
C. ：成本不变，提高票价； ：提高成本，票价不变．
D. ：降低成本，提高票价； ：降低成本，票价不变．
7.已知函数的定义域为，是奇函数，为偶函数，为自然对数的底数，，则在区间上的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若集合，时，，均有恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
10.波恩哈德黎曼是德国著名的数学家．他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础．他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是( )
A. B. ，
C. 的值域为 D. 为偶函数
11.若函数，当时，的最大值为，最小值为；则下列说法正确的是( )
A. 的值与无关 B. 的值与无关
C. 函数，至少有一个零点 D. 函数，至多有三个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数的值为________．
13.已知，若，，则的最小值为________．
14.若函数，，且在区间上单调递增，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
Ⅰ求，；
Ⅱ若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
设奇函数，为自然对数的底数，．
Ⅰ求的定义域和；
Ⅱ，求函数的值域．
17.本小题分
设函数
Ⅰ若，求证：在内存在零点；
Ⅱ若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
函数满足：对任意实数，，有成立；函数，，，且当时，．
Ⅰ求并证明函数为奇函数；
Ⅱ证明：函数在上单调递增；
Ⅲ若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数的定义域为，若最多存在个实数，，使得，，则称函数为“级函数”．
Ⅰ函数，是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由；
Ⅱ若函数，求的值；
Ⅲ若函数，求，的取值范围．用表示
参考答案
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15.解：Ⅰ由已知得，，
，
又，所以
Ⅱ因为“”是“”的充分不必要条件所以，
若，即时，，符合题意
若，即时，，
所以，所以
若，即时，，
所以，所以，
综上，．
16. 解：要使有意义，
只需且，
即且，
的定义域为．
又为奇函数，且，，
，经检验，当时，函数为奇函数．
当时， ，
令，则
在上单调递减，
代入，，分别得和，，，是增函数，时，．
所以的值域为．

17.解：Ⅰ由，即，
，
，，
若，，
由零点存在性定理知在上存在零点
若，则，是零点，此时存在零点，
综上在内存在零点．
Ⅱ依题意得，且，是方程的两根，
由韦达定理得，，，
所以，
依题意，得在上恒成立，
因为，，所以，只需，
令，，
令，则，在上单调递增，
所以时，，
，
．
18.解：令，得，令，得
证明：，，取，依题意得，得，所以是奇函数．
证明：由得即，
，，，则，则
所以，
所以函数在上单调递增．
因为，，且函数为奇函数，所以是偶函数，
又，
所以由
，
因为是偶函数，
，又函数在上单调递增，
，因为 所以，，
因为，当且仅当时取等号，
所以，，
所以，，
即的取值范围为．
19.解：函数为偶函数，图象关于轴对称，且在上递增，在上递减，所以为“级函数”，且
在上递减，且此时，在上递减，且此时所以不为“级函数”．
，的图象关于直线轴对称，
当时，，
当时，，．
易得
当，时，
，即，
所以，
令，
当时，在递增，在递增，所以
当时，在递增，在递增，在递减
所以
当时，在递减，在递增，在递增，在递减，所以
当，时，，即所以，
令，对称轴是，在上递减，所以，
因为：
故当时，的取值范围为，，当时，的取值范围为，，当时，的取值范围为
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