2023-2024学年陕西省西安市高新一中高一(上)期末数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.“,为无理数”是“为无理数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若函数为上的奇函数,当时,,则的值为( )
A. B. C. D.
4.如果,则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.已知,,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.设,,,则( )
A. B. C. D.
7.已知角的始边与轴非负半轴重合,终边经过点,将角的终边逆时针旋转后得到角,则( )
A. B. C. D.
8.已知,的值域为,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共4小题,共16分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知函数,则下列说法正确的是( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 在上是增函数 D. 在上是减函数
10.下列说法正确的是( )
A. 如果是第一象限的角,则是第四象限的角
B. 角与角终边重合
C. 若圆心角为的扇形的弧长为,则该扇形面积为
D. 若是第二象限角,则点在第四象限
11.给出下列结论,其中不正确的结论是( )
A. 函数的最大值为
B. 已知函数且在上是减函数,则实数的取值范围是
C. 函数的定义域为,则函数的定义域为
D. 若函数的值域为,则实数的取值范围是
12.已知函数和在上的图象如图所示,给出下列四个命题,其中正确的命题有( )
A. 方程有且仅有个根 B. 方程有且仅有个根
C. 方程有且仅有个根 D. 方程有且仅有个根
三、填空题:本题共4小题,每小题4分,共16分。
13.已知,且,则 ______.
14.函数其中,,的部分图象如图所示,则 ______.
15.若不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是______.
16.已知函数在区间上有且仅有个不同的零点,则的范围为______.
四、解答题:本题共6小题,共56分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合,.
当时,求;
若,求实数的取值范围.
18.本小题分
已知幂函数是偶函数,且在上单调递增.
求函数的解析式;
若正实数,满足,求的最小值.
19.本小题分
设,是关于的方程其中的两个实数根.
求的值;
求的值.
20.本小题分
已知函数.
求在上的值域;
试讨论函数在上零点的个数.
21.本小题分
第届亚运会年月日至月日在浙江杭州举办,亚运会三个吉祥物琼琼、宸宸、莲莲,设计为鱼形机器人,同时也分别代表了杭州的三大世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖,他们还有一个好听的名字:江南忆由市场调研分析可知,当前“江南忆”的产量供不应求,某企业每售出千件“江南忆”的销售额为千元,且生产的成本总投入为千元记该企业每生产销售千件“江南忆”的利润为千元.
求函数的解析式;
求的最大值及相应的的取值.
22.本小题分
已知函数.
Ⅰ设函数,若不等式对任意的恒成立求实数的取值范围;
Ⅱ已知函数在上单调递增,设,关于的方程有个不同实根,求实数的取值范围.
参考答案
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14.
15.
16.
17.解:解,得,
,
当时,,
故A;
,,
由上问得,,
,
解得,
故.
18.解:由为幂函数得:
,
且在上单调递增,
所以,
又,所以或,
当时,为奇函数,不满足题意,
当时,为偶函数,满足题意,
所以;
因为,且,
所以,
所以,
,
,
当且仅当,
且,即,时取等号,
所以的最小值为.
19.解:,是关于的方程其中的两个实数根,
所以,,
可得或,
由,两边平方得,
可得,
解得舍或,
所以;
.
20.解:Ⅰ函数,
由,可得,,即有的值域为;
Ⅱ由,可得,
作出在上的图象,
当,即时,的零点个数为;
当,即时,的零点个数为;
当,即时,的零点个数为;
当,即时,的零点个数为;
当,即时,的零点个数为;
综上,可得或时,的零点个数为;
或时,的零点个数为;
时,的零点个数为.
21.解:由已知可得,
又,
则;
当时,,
显然函数在为增函数,
则当时,函数取最大值,
当时,,
当且仅当,即时取等号,
因为,
所以当时,取得最大值.
22.解:Ⅰ因为,
又因为当时,,
所以在上恒成立,
所以在上恒成立,
又因为,
令,易知在上单调递增,
所以,
由对勾函数的性质可知在处取最小值,
即,
所以,
所以实数的取值范围为;
Ⅱ令,
由对勾函数的性质可知在处取最小值,
所以,,
令,
所以当时,有一个解,
所以,
即为,
,
因为,对称轴,
当时,则有或,
当时,得,即,,解得,此时只有一个解,不符题意;
当时,得,即,此时关于的方程有个不同根,满足题意;
当时,方程有两不等实根,,
对称轴,且,
所以方程有一个正根,
所以关于的方程有个不同根,满足题意;
当时,方程有两不等实根,,
对称轴,
所以,即时,
方程有一个正根,
所以关于的方程有个不同根,满足题意;
综上,
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