2024-2025学年浙江省“台金七校联盟”高二年级第一学期期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省“台金七校联盟”高二年级第一学期期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 ．
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
4.若直线与平行，则实数等于( )
A. B. C. D. 或
5.正方体的棱长为，是棱的中点，是棱上一点含端点，且，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.已知直线与直线相交于点，若点始终在圆内，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.双曲线的左、右焦点为，，过的直线与的左支交于，两点，若，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 直线在轴的截距是
B. 直线的倾斜角为
C. 过点且倾斜角为的直线方程为
D. 过点的直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，则为坐标原点面积的最小值为．
10.在正方体中，，则( )
A. B. 当点在平面内时，
C. 与平面所成角的正切值为 D. 当时，四棱锥的体积为定值
11.已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点点和点在点的两侧，则下列命题正确的是( )
A. B. 若为的中线，则
C. 存在直线使得 D. 对于任意直线，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的焦点坐标是 ．
13.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为 ．
14.已知，是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若直线的方程为．
若直线与直线垂直，求的值
若直线在轴上截距是轴上截距的倍，求该直线的方程．
16.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，
求的长
求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
已知圆关于直线的对称圆的圆心为，直线过点．
若直线与圆相切，求直线的方程
若直线与圆交于，两点，，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，，为，中点．
求证：平面
若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值
在的条件下，若点为直线上一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值．
19.本小题分
著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，为后续微积分的开拓奠定了基础已知椭圆的离心率为，且右顶点与上顶点的距离．
求椭圆的面积
若直线交椭圆于，两点，
(ⅰ)求的面积的最大值为坐标原点
(ⅱ)若以，为直径的圆过点，，为垂足，是否存在定点，使得为定值若存在，求点的坐标若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：因为直线： 与直线： 垂直，
所以 ，解得 ．
当 时，直线的方程为 ，直线没有横截距，不合题意；
当 时，令 ，得 ，即直线 在 轴上的截距为 ．
令 ，得 ，即直线 在轴上的截距为 ．
因为直线在轴上截距是轴上截距的 ，
所以 ，
解得 或 ．
则直线 的方程是 或 ．

16.解：设，，，构成空间的一个基底．
因为，
所以
所以
又，
所以
，
，
设异面直线与所成角为，
，
即异面直线与所成角的余弦值为．
17.解：由题意可知圆的圆心坐标，半径，
当直线的斜率不存在时，直线过点，即的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意
当直线的斜率存在时，设斜率为，直线过点，
设直线的方程为，即化为一般式：，
直线与圆相切，则，解得，
所以的方程为：，即，
综上，当直线与圆相切，直线的方程为或．
圆的圆心坐标，半径，
设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为，
所以，解得，圆的圆心为，半径为，
显然，直线斜率存在时，设斜率为，直线过点，
设直线的方程为，即化为一般式：，
圆心到直线的距离，
若直线与圆交于，两点，，根据勾股定理可得，
即，解得或，
所以直线的方程为或．
18.证明：取中点，连接，．
在中，因为，分别为，的中点，
所以，．
在菱形中，因为，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
因此．
又因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，、平面，
所以，．
因为，所以．
在菱形中，，
因为为中点，
所以．
建立如图空间直角坐标系．
在正三角形中，．
则，，，
，不妨设，则，，
所以向量，
设平面的法向量为，则，即，
取
设直线与平面所成角为，
，，
解得．
由知，，，，平面的法向量，
因为点为直线上一点，设，
则，
设直线与平面所成角为，，．
因此，直线与平面所成角正弦值的最大值为．

19.解：设椭圆的半焦距为，由题意，得，
又，，解得，，
所以椭圆的标准方程为，
则椭圆的面积为．
设点到直线的距离为，，
直线的斜率不存在时，设直线的方程为，且，则，
所以，
当且仅当时等号成立，此时的面积的最大值为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去并整理可得，
由题意知，
由韦达定理，，，
则，
又，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，此时的面积的最大值为．
综上，的面积的最大值为．
(ⅱ)因为点在以，为直径的圆上，所以，所以，
，，
，
当直线斜率存在时，
由知
，
，
整理得：，
，或，
当时，直线，过点，矛盾，舍去
当时，直线，过点．
当直线斜率不存在时，易得直线为，过点．
综上，直线过定点．
因为，为垂足，为定值，故点在以，为直径的圆上，
取中点则，
所以，存在定点，使得为定值．
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