2024-2025学年天津四十七中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津四十七中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，集合，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.下列命题中正确的是( )
A. 对于命题：，使得；则：，均有
B. 在其定义域内既是奇函数又是增函数
C. 任意，不等式恒成立，则的范围是
D. 函数且的图象恒过定点
5.已知函数，其中为奇函数，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数是定义域为的偶函数，且对任意，，当时总有，则满足的的范围是( )
A. B. C. D.
7.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若定义运算，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.函数的定义域为写成集合形式 ______．
11.求的值是______．
12.函数的值域是______．
13.已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为______．
14.若正数，满足，则的最小值为______；当且仅当______时取得最小值．
15.定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知集合，．
当时，求；；
若集合为非空集合且，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
函数，，
若的解集是或，求实数，的值；
当时，若，求实数的值；
，若，求的解集．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
Ⅰ求、的值及的解析式；
Ⅱ用定义法证明函数在上单调递增；
Ⅲ若不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知是二次函数，且满足，．
求函数的解析式；
设函数，求在区间上的最小值的表达式．
在的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
当，，时，求函数的值域；
若，存在，使，求的取值范围；
若存在，使，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.且
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：当时，，，
，
因为或，
所以；
因为集合为非空集合且，
所以，
又，，
所以，解得，
故实数的取值范围是；
，
若时，
则，解得，符合题意，
若时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
17.解：不等式的解集为或，
，且的两根为，，
，，
解得，；
，
得，
；
，
，
，
即，
，
当时，，
当时，则，
当时，，
当时，若，即时，或，
若，即时，，
若，即时，或，
综上所述：当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
18.Ⅰ解：是定义在上的奇函数，且，
，解得，此时，
满足，为奇函数；
Ⅱ证明：设，
则
，
，，，，
可得，即，
可得函数在上单调递增；
Ⅲ解：是定义在上的奇函数，
由，得，
又函数在上单调递增；
，解得．
故实数的取值范围是
19.解：设，
，
，
又，
，
即，
，
解得，
即；
由题意得，，
则二次函数的对称轴为，
若时，，当时，的最小值为；
若时，，当时，的最小值为；
若时，，当时，的最小值为；
所以；
在的条件下，对任意的，存在，
使得成立，
即，
作如下图形：
故是单调递减函数，
，当时，，
当时，，
，
，，
，，
因为，
所以时取最大值，
所以不等式，
解得：或；
综上所述：的取值范围为．
20.解：，，则，，
令，则，则在上单调递增，
所以，故函数的值域为；
由有，
即，，
所以，
令，，，则单调递增，
所以，，
令，，，
所以，
令，则在上递增，所以．
所以．
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