2024-2025学年北京171中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京171中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知正数、满足，则有( )
A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值
5.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，，，则下列命题正确的是( )
A. 若且，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.设函数，且，则等于( )
A. B. C. D.
8.若函数的图象如图，则函数的图象为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.当时，若函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知幂函数的图象经过，则______．
12.计算______．
13.若集合，，则 ______．
14.已知，的值域为______．
15.函数，给出下列四个结论：
的值域是；
，且，使得；
任意，且，都有；
规定，，其中，则．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设全集为，，．
求；
求．
17.本小题分
已知命题：“，使得”为真命题．
求实数的取值的集合；
设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知是定义在上的奇函数，且当时，．
在上是否具有单调性？如没有，直接写“没有”；如有，直接写出单调性不用证明；
求在上的解析式；
解不等式．
19.本小题分
设，解关于的不等式．
20.本小题分
某公司为改善营运环境，年初以万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元．
该车营运第几年开始赢利总收入超过总支出，今年为第一年；
该车若干年后有两种处理方案：
当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出；
当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出．
问：哪一种方案较为合算？并说明理由．
21.本小题分
对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，若，存在非空集合、，满足：；；称存在“双拆”若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”．
判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？不必写过程，直接写出判断结果；
，证明：不能“任意双拆”；
若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值．
参考答案
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15.．
16.解：，，
．
或，或．
17.解：命题“，使得”为真命题，
所以，
即，
解之得或，
所以实数的取值的集合或；
不等式的解集为，
因为是的必要不充分条件，所以，
则或，
所以或，
故实数的取值范围为．
18.解：根据题意，在单调递增，
证明：设，
，
又由，则，，
故在单调递增；
设，则，所以．
又因为为定义域为的奇函数，所以，．
所以，．
所以函数在上的解析式为：．
根据题意，当时，，
则有且，变形可得且，
解可得，
又函数为奇函数，所以当时，由．
所以不等式的解集为：．
19.解：关于的不等式，
因式分解可形为，
当时，不等式即为，
故不等式的解为；
当时，不等式即为，
，
故不等式的解为或；
当时，不等式即为，
，
故不等式的解为；
当时，不等式即为，
故不等式的解为；
当时，不等式即为，
，
故不等式的解为．
综上所述，当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为．
20.解：因为客车每年的营运总收入为万元，使用年，
所需的各种费用总计为万元，
若该车年开始赢利，则，
则，即，
解得，
所以该车营运年开始赢利；
方案由题意知赢利总额，
时，赢利总额达到最大值为万元，
所以年的赢利总额为万元，
方案，年平均赢利总额，
当且仅当时取等号．时年平均赢利总额达到最大值为万元，
所以年的赢利总额为万元，
两种方案的赢利总额一样，但方案的时间短，故方案合算．
21.解：对集合，，且，
集合可以双拆，
若在集合中去掉元素，
，，，
集合不可“任意双拆”；
若集合可以“双拆”，则在集合去除任意一个元素形成新集合，
若存在集合，，使得，，，则，
即集合中所有元素之和为偶数，
事实上，集合中的元素为个奇数，这个奇数和为奇数，不合题意，
集合不可“双拆”．
证明：设．
反证法：如果集合可以“任意双拆”，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，，或，，
若去掉的是，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，，或，，
由可得，矛盾；
由得，矛盾；
由可得，矛盾；
由可得，矛盾．
不能“任意双拆”；
设集合，
由题意可知均为偶数，
均为奇数或偶数，
若为奇数，则均为奇数，
，为奇数，
若为偶数，则均为偶数，
此时设，则可任意双拆，
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，
则集合中元素个数为奇数，
当时，由题意知集合不可“任意双拆”，
当时，集合不可“任意双拆”，
，
当时，取集合，
，
，
，
，
，
，
则集合可“任意双拆”，
集合中元素个数的最小值为．
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