2024-2025学年江苏省徐州三中等校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省徐州三中等校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的通项公式为，则是该数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3.圆的圆心坐标为( )
A. B. C. D.
4.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
5.已知直线：，：，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线：的焦点为，且经过点，为坐标原点，若，则( )
A. B. C. D.
7.在等差数列中，，，设，则( )
A. B. C. D.
8.在直角坐标系中，已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，点在上，若，，则的离心率( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，，则( )
A. 当时，的面积是 B. 实数的取值范围是
C. 点在内 D. 当的周长最大时，圆心坐标是
10.已知等差数列是递增数列，前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
11.已知曲线：，则( )
A. 在第一象限为双曲线的一部分
B. 关于直线对称
C. 与直线无交点
D. 过点且与有两个交点的直线有条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆与圆内切，则实数的值为______．
13.已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，在上，且，，则的离心率为______．
14.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心为，且过点．
求的标准方程；
若直线过点且被圆截得的弦长为，求的方程．
16.本小题分
已知双曲线的焦点为，，渐近线方程为．
求的标准方程；
点在上，且满足，求及的面积．
17.本小题分
已知抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．
当直线的倾斜角为时，求；
设为坐标原点，直线，分别与直线交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．
18.本小题分
已知椭圆：经过点和，
求的标准方程；
点，在上，且直线过的右焦点，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，直线与直线相交于点．
求点的横坐标；
求面积的最大值．
19.本小题分
已知数组：，，和：，，，，若，且，则称为的“应联数组”．
写出数组：，，的“应联数组”；
若的“应联数组”是，证明：，，成等差数列；
若为偶数，且的“应联数组”是，求证：．
参考答案
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15.解：半径，
所以的方程为；
当的斜率不存在时，的方程为，与圆相离，不满足条件；
当的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
所以弦长．
即，解得或，
所以的方程为或．
16.解：已知双曲线的焦点为，，
所以，
不妨设的标准方程为，
因为的渐近线方程为，
所以，
又，
联立，
解得，，
故C的标准方程为；
因为在双曲线上，
所以，
因为，
所以，
整理得，
联立，
解得，
所以的面积．
17.解：已知抛物线：的焦点为，
则，
又过的直线与交于，两点，
当直线的倾斜角为时，
直线的方程为，
联立，
可得
设，
则，
所以；
证明：可设直线：，
联立，
可得，
所以，
又，
则，
所以，
同理可得，
设圆上任意一点为，
则由可得圆的方程为，
整理得，
令，可得或，
所以为直径的圆过定点，定点坐标为和．
18.解：将点和代入可得，
解得，，
即的标准方程为：；
由知的右焦点为，
由题意可得直线的斜率不为，设直线的方程为，，设，，
由题意可得，，
联立，整理可得：，
可得，，
直线的方程为，的方程为，
联立，
两式相减可得，可得
，
即点的轴坐标为；
由可得，
因为，可得，
所以，所以，
，
设，则，可得，
当且仅当，即时，取等号．
即的面积的最大值为．
19.解：由：，，，可得，，，
解得，，则：，，；
证明：由定义知，，，，，，，
所以，
即，
即，所以，，成等差数列；
证明：，，，
由于为偶数，可得，
即，所以．
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