2024-2025学年广西百色市凌云中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西百色市凌云中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆：，过点作圆的一条切线，切点为，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆：关于直线对称，则圆的半径为( )
A. B. C. D.
5.设点，，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
7.如图，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知点，，若圆：上恰有两点，，使得和的面积均为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，，，则( )
A. B.
C. D. 是共面向量
10.已知圆：与直线，下列选项正确的是( )
A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相离
11.如图，在棱长为的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则( )
A. 平面
B. 若为上的动点，则的最小值为
C. 点到直线的距离为
D. 平面与平面相交
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______．
13.已知圆：与圆：有条公切线，则的取值范围为______．
14.已知直线：与圆：相交于，两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点坐标是，，，为的中点．
求中线的方程；
求经过点且与直线平行的直线方程．
16.本小题分
已知直线：，：，其中为实数，
当时，求直线，间的距离；
当时，求过直线，的交点，且平行于直线的直线方程．
17.本小题分
已知直线过点且与圆：相切．
求直线的方程；
若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点．
证明：；
当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，且，．
证明：平面．
若，点满足，求二面角的大小．
参考答案
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15.解：因为，，，
所以的中点，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即；
因为直线的斜率，
所以经过点且与直线平行的直线方程为，
即．
16.解：直线：，：，其中为实数，
由题可知，，解得，
所以：，
此时直线，之间的距离为．
当时，则：，
联立方程，解得，即交点坐标为，
设所求直线为，所以有，得，
所求直线为．
17.解：将圆：可化为，即圆心为，半径为，
将点的坐标代入圆的方程成立，即点在圆上，
点与点连线的斜率为，
由题意可得直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即；
设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，因此该圆的半径为，
所以该圆的方程是，
因为该圆被直线截得的弦长为，设圆心到直线的距离为，
则，可得，即，
所以圆心到直线的距离，解得，
故圆的标准方程为或．
18.解：证明：因为，
所以，所以，
又，且，，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
因为，所以，则，
由可知，，两两垂直，
以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
当点为棱的中点时，，
设平面的一个法向量，
则，则即
令，解得，，
故，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19.证明：如图，取为的中点，连接．
，．
平面平面，平面平面，平面．
平面，．
又，且，，平面，
平面．
解：过点作的平行线，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
．
设平面的法向量为，
则，令，得．
易知平面的一个法向量为，
．
由图可知二面角为锐角，二面角的大小为．
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